Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

В §4 формулируется доказанное в работе С.Б.Стечкина [2] обобщение известного неравенства С.Н.Бернштейна [3], [4] для производных от тригонометрического полинома. Мы приводим затем ряд следствий из нашего неравенства (*). Они играют существенную роль при доказательстве теорем §5.

В §5 рассматривается следующая задача. Пусть тригонометрический полином tn , близок в равномерной метрике к заданной функции f или последовательность полиномов {tn} достаточно хорошо аппроксимирует заданную функцию f. Как связаны тогда дифференциальные свойства f с дифференциальными свойствами tn?

Если tn , образуется из f посредством регулярного метода суммирования рядов Фурье, то ответ тривиален: для того чтобы , необходимо и достаточно, чтобы равномерно относительно n. (fHk[], если ).

Оказывается, что этот результат сохраняется и для полиномов наилучшего приближения: для того, чтобы равномерно относительно n.

Отметим еще один результат параграфа: для того чтобы , необходимо и достаточно чтобы

.

§6 посвящён “обратным теоремам” теории приближения.

Известно предложение: пусть

.

Тогда, если  не целое, r=[], =-r, то f имеет нерперывную производную .

Случай целого рассмотрен Зигмундом. В этом случае

.

Нетрудно показать, что эти два предложения эквивалентны следующему: пусть 0<<k и

.

Тогда

.

В работе [3] С.Н.Бернштейн доказал также эквивалентность условий и .

Мы переносим эти теоремы на условия вида

,

где  N

Кроме того, в этом параграфе доказано, например, такое предложение: пусть k - натуральное число и

;

для того, чтобы , необходимо и достаточно выполнение условия

.

В конце параграфа даются уточнения теорем Валле-Пуссена.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: аристотель реферат, международный реферат.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата