Предыдущая страница реферата | 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 | Следующая страница реферата

Пусть требуется вычислить площадь поверхности, ограниченной линией

Г (рис.20); поверхность задана уравнением [pic] где функция [pic] непрерывна и имеет непрерывные частные производные. Обозначим проекцию линии Г на плоскость Oxy через L. Область на плоскости Oxy, ограниченную линией L, обозначим D.

Разобьём произвольным образом область D на n элементарных площадок

[pic]В каждой площадке [pic] возьмём точку [pic] Точке Pi будет соответствовать на поверхности точка [pic] Через точку Mi проведём касательную плоскость к поверхности. Уравнение её примет вид

[pic] (1)

На этой плоскости выделим такую площадку [pic], которая проектируется на плоскость Оху в виде площадки [pic]. Рассмотрим сумму всех площадок [pic]

Предел [pic] этой суммы, когда наибольший из диаметров площадок

[pic]- стремится к нулю, мы будем называть площадью поверхности, т. е. по определению положим

[pic] (2)

Займемся теперь вычислением площади поверхности. Обозначим через

[pic] угол между касательной плоскостью и плоскостью Оху.

[pic]

Рис.20

Рис.21

На основании известной формулы аналитической геометрии можно написать (рис.21)

[pic] или

[pic] (3)

Угол [pic] есть в то же время угол между осью Oz и перпендикуляром к плоскости (1). Поэтому на основании уравнения (1) и формулы аналитической геометрии имеем

[pic]

Следовательно,

[pic]

Подставляя это выражение в формулу (2), получим

[pic]

Так как предел интегральной суммы, стоящей в правой части последнего равенства, по определению представляет собой двойной интеграл [pic] то окончательно получаем

[pic] (4)

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: контрольная 2, матершинные частушки.





Предыдущая страница реферата | 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 | Следующая страница реферата