Предыдущая страница реферата | 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 | Следующая страница реферата

Следовательно, задача состоит в отыскании объема цилиндрического тела, имеющего своим основанием внутренность указанного эллипса и ограниченного параболоидом [pic]

В силу симметрии тела относительно плоскостей Oxz и Oyz можно вычислить объем четвертой его части, заключенной в первом координатном угле. Этот объем равен двойному интегралу, распространенному по области, заданной условиями [pic]т. е. по четверти эллипса. Интегрируя сначала по у, затем по х, получим

[pic]

Подстановка [pic] даёт

[pic] откуда [pic]

3.Приложения двойных интегралов к задачам механики.

а) Масса плоской пластинки переменной плотности.

Рассмотрим тонкую пластинку, расположенную на плоскости Оху и занимающую область D. Толщину этой пластинки считаем настолько малой, что изменением плотности по толщине ее можно пренебречь.

Поверхностной плотностью такой пластинки в данной точке называется предел отношения массы площадки к ее площади при условии, что площадка стягивается к данной точке.

Определенная таким образом поверхностная плотность будет зависеть только от положения данной точки, т. е. являться функцией ее координат:

[pic]

[pic]

Если бы плотность была постоянной ([pic]), то масса всей пластинки равнялась бы [pic], где S - площадь пластинки. Найдем теперь массу неоднородной пластинки, считая, что ее плотность является заданной функцией [pic]. Для этого разобьем область, занимаемую пластинкой, на частичные области [pic] с площадями [pic] (рис. 16). Выбирая в каждой частичной области произвольную точку [pic], будем считать, что плотность во всех точках частичной области постоянна и равна плотности

[pic] в выбранной точке. Составим приближенное выражение для массы пластинки в виде интегральной суммы

[pic] (*)

Для точного выражения массы следует найти предел суммы (*) при условии [pic]и каждая частичная область стягивается к точке. Тогда

[pic]

б) Статические моменты и центр тяжести пластинки.

Перейдём теперь к вычислению статических моментов рассматриваемой пластинки относительно осей координат. Для этого сосредоточим в точках

[pic]массы соответствующих частичных областей и найдем статические моменты полученной системы материальных точек :

[pic]

Переходя к пределу при обычных условиях и заменяя интегральные суммы интегралами, получим

[pic]

Находим координаты центра тяжести :

[pic][pic]

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: контрольная 2, матершинные частушки.





Предыдущая страница реферата | 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 | Следующая страница реферата