Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Пусть [pic]есть уравнение поверхности, ограничивающей цилиндрическое тело. Будем считать функцию [pic]непрерывной в области D и сначала предположим, что поверхность целиком лежит над плоскостью

Oxy, т.е. что[pic] всюду в области D.

[pic]

Рис. 2

Обозначим искомый объем цилиндрического тела через V, Разобьем основание цилиндрического тела - область D - на некоторое число n областей произвольной формы; будем называть их частичными областями.

Пронумеровав частичные области в каком-нибудь порядке, обозначим их через [pic] а их площади - через [pic]. Через границу каждой частичной области проведем цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси Oz. Эти цилиндрические поверхности разрежут поверхность на n кусков, соответствующих n частичным областям. Таким образом, цилиндрическое тело окажется разбитым на n частичных цилиндрических тел

(см.рис.2). Выберем в каждой частичной области [pic] произвольную точку

[pic] и заменим соответствующее частичное цилиндрическое тело прямым цилиндром с тем же основанием и высотой, равной [pic]. В результате получим n-ступенчатое тело, объем которого равен [pic]

Принимая объем V данного цилиндрического тела приближенно равным объему построенного n-ступенчатого тела, будем считать, что Vn тем точнее выражает V, чем больше n и чем меньше каждая из частичных областей. Переходя к пределу при [pic]мы будем требовать, чтобы не только площадь каждой частичной области стремилась к нулю, но чтобы стремились к нулю все ее размеры. Если назвать диаметром области наибольшее расстояние между точками ее границы (Например, диаметр прямоугольника равен его диагонали, диаметр эллипса—его большой оси.

Для круга приведенное определение диаметра равносильно обычному.), то высказанное требование будет означать, что каждый из диаметров частичных областей должен стремиться к нулю; при этом сами области будут стягиваться в точку (Если известно только, что площадь области стремится к нулю, то эта область может и не стягиваться в точку.

Например, площадь прямоугольника с постоянным основанием и высотой, стремящейся к нулю, стремится к нулю, а прямоугольник стягивается к своему основанию, т. е. к отрезку).

В соответствии со сказанным мы принимаем искомый объем V равным пределу, к которому стремится Vn при стремлении к нулю наибольшего диаметра частичных областей (при этом[pic]):

[pic]

К отысканию предела подобных сумм для функций двух переменных приводят самые разнообразные задачи, а не только задача об объеме.

Рассмотрим этот вопрос в общем виде. Пусть [pic]- любая функция двух переменных (не обязательно положительная), непрерывная в некоторой области D, ограниченной замкнутой линией. Разобьем область D на частичные, как указано выше, выберем в каждой частичной области по произвольной точке [pic] и составим сумму

[pic] (*) где [pic] - значение функции в точке [pic]; и [pic], - площадь частичной области.

Сумма (*) называется n-й интегральной суммой для функции [pic]в области D, соответствующей данному разбиению этой области на n частичных областей.

Определение. Двойным интегралом от функции [pic] по области D называется предел, к которому стремится n-я интегральная сумма (*) при стремлении к нулю наибольшего диаметра частичных областей.

Записывается это так:

[pic]

Читается: «двойной интеграл от [pic] на [pic] по области D».

Выражение [pic], показывающее вид суммируемых слагаемых, называется подынтегральным выражением; функция [pic]называется подынтегральной функцией, [pic] - элементом площади, область D - областью интегрирования, наконец, переменные x и у называются переменными интегрирования.

Таким образом, можно сказать, что объем цилиндрического тела, ограниченного плоскостью Oxy, поверхностью [pic] и цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси Oz, выражается двойным интегралом от функции [pic], взятым по области, являющейся основанием цилиндрического тела:

[pic].

Аналогично теореме существования обыкновенного интеграла имеет место следующая теорема.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: контрольная 2, матершинные частушки.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата