Предыдущая страница реферата | 22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32 | Следующая страница реферата



( (х( - 2 .
Решение: Пусть (х( = y. Заметим далее, что (х( + 1 > 0. Поэтому данное неравенство эквивалентно следующему: -2 ( (y –2)(y + 1), или y2 – y ( 0, или 0 (y( 1, или 0 ((х(( 1. Отсюда -1( х ( 1.

Ответ: [-1; 1].

Пример: Решить неравенство

(х2 – 3х + 2(+ (2х + 1( ( 5.

Решение. х2 – 3х + 2 отрицателен при 1 < x < 2 и неотрицателен при остальных х, 2х + 1 меняет знак при х = -Ѕ. Следовательно, нам надо рассмотреть четыре случая.
1. х < -Ѕ. В этом случае х2 – 3х + 2 > 0, 2х +1 < 0. Получаем неравенство х2 – 3х + 2 – 2х – 1 ( 5, х2 – 5х – 4 ( 0. Его решение ,2) ( х (

,2) . С учетом условия х < -Ѕ находим ;2) ( х ( -Ѕ.

2. – Ѕ ( х ( 1. Имеем неравенство х2 – х – 2 ( 0. Его решение –1 ( х ( 2.

Следовательно, весь отрезок –Ѕ ( x ( 1удовлетворяет неравенству .

3. 1 < x < 2. Получаем х2 – 5х + 6 ( 0; х ( 2 или х ( 3. Вновь подходит весь интервал.

4. х ( 2. Неравенство то же, что и в случае 2. Подходит лишь х = 2.

Ответ: ;2) ( х ( 2.

Пример: Решить неравенство.

((х3 + х - 3(- 5(( х3 – х + 8.
Решение. Решим это неравенство не стандартным образом.

(х3 + х - 3( - 5 ( х3 – х + 8, (х3 + х - 3( ( х3 – х + 13
(х3 + х - 3( - 5 ( -х3 + х – 8 (х3 + х - 3( ( - х3 + х – 3

х3 + х – 3 ( х3 – х + 13 х ( 8, х3 + х – 3 ( -х3 + х – 13, х3 ( -5, х3 + х – 3 ( -х3 + х – 3, х3 ( 0, х3 + х – 3 ( х3 – х + 3 х ( 3

-( х ( 8, -( х ( 8. х – любое

Ответ: -( х ( 8.

Неравенства с параметрами.

Неравенства с параметрами являются наиболее трудными задачами курса элементарной математики. Это объясняется тем, что их решения следует получать при всех допустимых значениях входящих в них параметров.

Пример: Для всех значений а решить неравенство

aх > 1/x.

Решение: Запишем неравенство в виде

> 0,

тогда исходное неравенство эквивалентно двум системам неравенств:

ax2 – 1 > 0, ax2 – 1 < 0, x > 0; x < 0.

Рассмотрим первую систему. Первое неравенство запишем в виде:

ax2 > 1.

При а > 0 оно эквивалентно неравенству х2 > 1/a, множество решений которого х < -1/ и x > 1/. В этом случае решения первой системы: х((1/; ().
При а ( 0 левая часть неравенства ах2 –1 > 0 отрицательна при любом х и неравенство решений не имеет, а следовательно, не имеет решений и вся система неравенств.

Рассмотрим вторую систему. При а > 0 решениями неравенства ах2 – 1 0 и а ( 0 и для каждого из них построим графики функций, стоящих в левой и правой частях исходного неравенства. Заштрихованные промежутки оси Ох представляют собой решение неравенства в рассматриваемых случаях.

Графическая иллюстрация облегчает решение уравнений и неравенств с параметрами.

Ответ: Если а ( 0, то х((-(; 0); если а > 0, то х((-1/; 0)((1/; ().

Пример: Решить неравенство:

( < .

Решение: Преобразуем данное неравенство: 3m2х + 3 – 2mx2 – 6 < m + 9x; mx2 – 9x < m + 3; (m – 3)(m + 3)x < m + 3. Далее находим решение неравенства при различных значения параметра m:
1) Пусть (m – 3)(m + 3) > 0, т.е. m < -3 или m > 3. Тогда неравенство имеет решение х < 1/(m – 3).

2) Пусть (m – 3)(m + 3) < 0, т.е. –3 < m < 3. Тогда неравенство имеет решение х > 1/(m – 3).

3) Пусть (m – 3)(m + 3) = 0, т.е. m = 3 или m = -3. Тогда если m = 3, то неравенство примет вид 0(х < 6 и, значит выполняется при любом х(R. Если же m = -3, то неравенство примет вид 0(х < 0 и, следовательно, не имеет решении.

Пример: Для каждого неотрицательного значения параметра а решить неравенство

4а3х4 + 4а2х2 + 32х + а + 8 ( 0.

Решение. Левая часть неравенства представляет собой многочлен как относительно х, так и относительно параметра а. Степени соответственно равны 4 и 3. Однако если умножить многочлен на а, а затем сделать замену y
= ax, то в новом многочлене максимальная степень параметра а будет равна 2.
Случай а = 0 дает нам ответ х ( - ј. Будем теперь считать, что а > 0.
Умножив обе части неравенства на а и сделав замену y = ax, получим

4y4 + 4ay2 + 32y + a2 + 8a ( 0.

Левая часть представляет собой квадратный трехчлен относительно а:

a2 + (4y2 + 8)a + 4y2 + 32y ( 0, јD = (2y2 + 4) 2 – 4y2 – 32y = 16(y – 1) 2.

Раскладывая левую часть неравенства на множители, получим

(а + 2y2 + 4y)(a + 2y2 – 4y + 8) ( 0,

или

(2y2 + 4y + a)(2y2 – 4y + 8 + a) ( 0.

Второй множитель положителен при всех y, если а > 0. Приходим к неравенству 2y2 + 4y + a ( 0, откуда, если 0 Ѕ(-2+); если а ( 2, y – любое. Возвращаясь к х, получим ответ.

Ответ: Если а = 0, то х ( - ј; если 0

Пример: Решить систему неравенств

х2 – 3х + 2 ( 0, ах2 – 2(а + 1)х + а – 1 ( 0.

Решение: Поскольку решением первого неравенства является 1 ( х ( 2, то задача сводится (при а ( 0) к выяснению расположения корней квадратного трехчлена f(x) = ах2 – 2(а + 1)х + а –1 относительно отрезка [1; 2]. Имеем

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: доклад по обж, курсовые работы.





Предыдущая страница реферата | 22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32 | Следующая страница реферата