Предыдущая страница реферата | 21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31 | Следующая страница реферата



Второй сомножитель, представляющий собой кубический многочлен, имеет корень х = 1. Следовательно, он может быть представлен в виде

х3 + 3х2 – 4 = (х-1)(х2 + 4х + 4) = (х-1)(х + 2) 2.

Таким образом, Р4(х) = х(х - 1)(х + 2) 2 и неравенство (*) может быть записано в виде

х(х –1)(х + 2)2 > 0. (**)

Решим неравенство (**) методом интервалов. При х > 1 все сомножители, стоящие в левой части неравенства, положительны.

Будем двигаться по оси Ох справа налево. При переходе через точку х =
1 многочлен Р4(х) меняет знак и принимает отрицательные значения, так как х
= 1 ( простой корень (корень кратности 1); при переходе через точку х = 0 многочлен также меняет знак и принимает положительные значения, так как х =
0 ( также простой корень; при переходе через точку х = -2 многочлен знака не меняет, так как х = -2 ( корень кратности 2. Промежутки знакопостоянства многочлена Р4 (х) схематически представлены на рис 1. Используя этот рисунок, легко выписать множество решений исходного неравенства.
Ответ. х ( (-(; -2) ( (-2; 0) ( (1; ().
Пример: Решить неравенство

(х2 – 3х – 2)(х2 – 3х + 1) < 10.

Решение: Пусть х2 – 3х – 2 = y. Тогда неравенство примет вид y(y +3) < 10, или y2 + 3y – 10 < 0, откуда (y + 5)(y – 2) < 0. Решением этого неравенства служит интервал –5 0,

откуда

(x – 4)(x + 1) < 0,

(x + )2 + > 0.

Поскольку второе неравенство выполняется при всех х, решение этой системы есть интервал (-1; 4).

Ответ: (-1; 4).

Пример: Решить неравенство

х4 – 34х2 + 225 < 0.

Решение. Сначала решим биквадратное уравнение х4 – 34х2 + 225 < 0. Полагая х2 = z, получаем квадратное уравнение z2 – 34z + 225 = 0, из которого находим: z1 = 9 и z2 = 25. Решая уравнения х2 = 9 и х2 = 25, получаем 4 корня биквадратного уравнения: -3, 3, -5, 5. Значит, х4 – 34х2 + 225 = (х +
5)(х + 3)(х – 3)(х – 5), и поэтому заданное неравенство иммет вид:

(х + 5)(х + 3)(х – 3)(х – 5) < 0.

Изображаем на координатной прямой точки –5, -3, 3, 5 и проводим кривую знаков. Решение неравенства является объединение интервалов (-5; -3) и
(3; 5).

Ответ: (-5; -3)((3; 5).

Пример: Решить неравенство

х4 – 3 < 2х(2х2 – х – 2).

Решение. Дано целое рациональное неравенство. Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем многочлен к стандартному виду. Получим равносильное неравенство

х4 – 4х3 + 2х2 + 4х – 3 < 0.

Решая уравнение х4 – 4х3 + 2х2 + 4х – 3 = 0, находим корни х1 = -1, х2,3 = 1, х4 = 3. Тогда неравенство можно переписать в виде

(х – 1) 2(х + 1)(х – 3) < 0.

Найденные корни разбивают числовую ось на четыре промежутка, на каждом из которых левая часть неравенства, а значит, и исходного неравенства сохраняет знак. Выбирая пробные точки в каждом из промежутков
(достаточно значения х подставлять только в последний два сомножителя), получаем знаки, указанные на рисунке. Видим, что неравенство выполняется на промежутках (-1; 1) и (1; 3).

Так как неравенство строгое, то числа –1, 1, 3 не входят в решение неравенства.

Ответ: (-1; 1)((1; 3).

Дробно-рациональные неравенства.

Решение рационального неравенства

> 0 (5)

где Рn(х) и Qm(х) ( многочлены, сводится к решению эквивалентного неравенства (4) следующим образом: умножив обе части неравенства (5) на многочлен [Qm(x)]2, который положителен при всех допустимых значениях неизвестного х (т.е. при тех х, при которых Qm(x) ( 0), получим неравенство

Рn(х) ( Qm(x) > 0,

эквивалентное неравенству (5).

Дробно-линейным называется неравенство вида

> k

где a, b, c, d, k ( некоторые действительные числа и с ( 0, ( (если с =
0, то дробно-линейное неравенство превращается в линейное, если = неравенство (6) не содержит аргумента). К дробно-линейным неравенствам относятся и неравенства вида (6), где вместо знака > стоят знаки (х + 2(.

(**)

Возведя обе части неравенства (**) в квадрат, после приведения подобных членов получаем неравенство

6х < -3,

т.е. х < -1/2.

Учитывая множество допустимых значений исходного неравенства, определяемого условием х ( -2, окончательно получаем, что неравенство (*) выполняется при всех х((-(; -2)((-2; -1/2).

Ответ: (-(; -2)((-2; -1/2).

Пример: Найти наименьшее целое х, удовлетворяющее неравенству:

> 1.

Решение: Так как (х +1( ( 0 и, по условию, (х +1( ( 0, то данное неравенство равносильно следующему: 2х + 5 > (х +1(. Последнее в свою очередь, эквивалентно системе неравенств –(2х + 5) < х + 1 < 2х + 5, или

, откуда

Наименьшим целым числом х удовлетворяющей этой системе будет неравенств, является 0. Заметим, что х ( -1, иначе выражение в левой части данного неравенства не имеет смысла.

Ответ: 0.

Пример: Решить неравенство:

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: доклад по обж, курсовые работы.

Предыдущая страница реферата | 21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31 | Следующая страница реферата