Предыдущая страница реферата | 16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26 | Следующая страница реферата

1) исследовать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметров.

2) Найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение действительно определяет корень уравнения.

Ответ к задаче «решить уравнение с параметрами» должен выглядеть следующим образом: уравнение при таких(то значениях параметров имеет корни
…, при таких(то значениях параметров — корни …, при остальных значениях параметров уравнение корней не имеет.

Пример 10.42. Решим уравнение px = 6 с неизвестным x и параметром p.
Если p ( 0, то можно разделить обе части уравнения на p, и тогда мы находим корень уравнения x = 6 /p. Если p = 0, то уравнение корней не имеет, потому что 0(x = 0 для любого x.

Ответ: при p ( 0 уравнение имеет единственный корень x = 6 / p; при p = 0 уравнение корней не имеет.

Пример 10.43. Сравнить: (a и 3a.

Решение. Естественно рассмотреть три случая:

Если a < 0, то (a > 3a;

Если a = 0, то (a = 3a;

0, то (a < 3a.

Пример 10.44. Решить уравнения ax = 1.

Решение. На первый взгляд представляется возможным сразу дать ответ: x = 1 / a. Однако при a = 0 данное уравнение решений не имеет, и верный ответ выглядит так:

Ответ: Если a = 0, то нет решений; если a ( 0, то x = 1 / a.

Пример 10.45. Решить уравнение (a2 ( 1)x = a + 1.

Решение. Нетрудно сообразить, что при решении этого уравнения достачно рассмотреть такие случаи:

1) a = 1; тогда уравнение принимает вил 0x = 2 и не имеет решений;

2) a = (1; получаем 0x = 0, и очевидно x — любое.

3) a ( (1; имеем x = 1 / (a ( 1).

Сделаем одно замечание. Существенным этапом решения задач с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем примерам, где решение как бы «ветвится» в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление ответа — это сбор ранее полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения.

В только что разобранном примере запись ответа практически повторяет решение. Тем не менее, мы считаем целесобразным привести

Ответ: Если a = (1, то x — любое число; a = 1, то нет решений; если a
( (1, то x = 1 / (a ( 1).

Пример 10.46. При каких a уравнение ax2 ( x + 3 = 0 имеет единственное решение?

Решение. Прежде всего обратим внимание на распространённую ошибку: считать исходное уравнение квадратным. На самом деле это уравнение степени, не выше второй. Пользуясь этим соображением, естественно начать решение, рассмотрев случай, когда a = 0, то очевидно данное уравнение имеет единственное решение. Если же a ( 0, то имеем дело с квадратным уравнением.
Его дискриминант 1 ( 12a принимает значение, равное нулю, при a =
1 / 12.

Ответ: a = 0 или a = 1 / 12.

Пример 10.47. при каких a уравнение (a ( 2)x2 + (4 ( 2a)x + 3 = 0 имеет единственное решение?

Решение. Понятно, что надо начинать со случая a = 2. Но при a = 2 исходное уравнение вообще не имеет решений. Если a ( 2, то данное уравнение
— квадратное, и, казалось бы, искомые значения параметра — это корни дискриминанта. Однако дискриминант обращается в нуль при a = 2 или a = 5.
Поскольку мы установили, что a = 2 не подходит, то

Ответ: a = 5.

Вероятно, в двух последних примерах ничего сложного нет (тем более, ели они уже решены). Однако, на наш взгляд, параметр в этих задачах проявляет своё «коварство», особенно для начинающих. Поэтому полезно рассмотреть ещё несколько примеров, где параметр «расставляет ловушки».

Пример 10.48. При каких значениях a уравнение ax2 + 4x + a + 3 = 0 имеет более одного корня?

Решение. При a = 0 уравнение имеет единственный корень, что не удовлетворяет условию. При a(0 исходное уравнение, будучи квадратным, имеет два корня, если его дискриминант 16 ( 4a2 ( 12a — положительный. Отсюда получаем (4

Ответ: (4

Пример 10.49. При каких a уравнение a(a + 3)x2 + (2a + 6)x ( 3a ( 9 =
0 имеет более одного корня?

(1 / 3. Опыт предыдущих примеров подсказывает, что из промежутка ((1 / 3; () надо исключить точку a
= 0, а в ответ не забыть включить a = (3.

Ответ: a = (3 или (1 / 3 0.

Пример 10.50. При каких значениях a уравнение (x2 ( ax + 1) / (x + 3)
= 0 имеет единственное решение?

Решение. Данное уравнение равносильно системе

x2 ( ax + 1 = 0, x ( (3.

Наличие квадратного уравнения и условие единственности решения, естественно приведут к поиску корней дискриминанта. Вместе с тем условие x
( (3 должно привлечь внимание. И «тонкий момент» заключается в том, что квадратное уравнение системы может иметь два корня! Но обязательно только один из них должен равняться (3. Имеем D = a2 ( 4, отсюда D = 0, если a =
(2; x = (3 — корень уравнения x2 ( ax + 1 = 0 при a = (10 / 3, причём при таком значении a второй корень квадратного уравнения отличен от (3.

Ответ: a = (2 или a = ( 10 / 3.

Пример 10.51. При каких a уравнение ax2 = a2 равносильно неравенству

(x ( 3( ( a?

Решение. При a ( 0 уравнение имеет единственное решение, а неравенство
— бесконечно много. Если a = 0, то решением как уравнения, так и неравенства является всё множество действительных чисел. Следовательно, требованию задачи удовлетворяет только a = 0.

Ответ: a = 0.

Пример 10.52. Решить уравнение с параметрами

(a2 ( 9)x = a2 + 2a ( 3.

Решение. Уравнение имеет смысл при любых значениях параметра. Запишем уравнение в виде:

(a ( 3)(a + 3)x = (a + 3)(a ( 1).

Если a = (3, то уравнение принимает вид: 0x = 0. Отсюда следует, что при x ( R, т.е. решением уравнения является любое действительное число. Если a ( (3, то уравнение принимает вид: (a (3)x = a (1.При a = 3 имеем 0x = 2. Уравнение решения не имеет. При a ( (3 имеем x = (a ( 1) / (a
( 3). Уравнение имеет единственное решение (например, x = 3 при a = 4, x = 3 / 5 при a= ( 2 и т.д.)

Ответ: a = (3, x ( R; a = 3, x ( (; a ( (3, x = (a ( 1) / (a ( 3).

Пример 10.53.

(x ( 4) / (x + 1) ( 1 / a(x + 1) = (2 / a.

Решение. Очевидно, (x + 1)a ( 0, т.е. x ( (1, a ( 0. Преобразуем данное уравнение, умножив обе его части на a(x + 1) ( 0:

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: доклад по обж, курсовые работы.





Предыдущая страница реферата | 16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26 | Следующая страница реферата