Предыдущая страница реферата | 13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23 | Следующая страница реферата

8U2 ( 6U + 1 = 0.

Это квадратное уравнение, имеющее корни U1 = 0,5; U2 = 0,25. Таким образом, из первого уравнения мы получаем что либо x / y = 1 / 2, либо x
/ y = 1 / 4. Осталось подставить выражения у =2х и у = 4х (рассмотрев оба случая) во второе уравнение системы. В первом случае получается уравнение
5х2 = 5, откуда х1 = 1, х2 = ( 1; соответственно у1 = 2, у2 = ( 2. Во втором случае получается уравнение17х2 = 5, откуда х3 = ((5 / 17), x4 =
(((5 / 17); соответственно y3 = 4((5 / 17), y4 = ( 4((5 /17).

Первое уравнение системы нам удалось представить как уравнение относительно x / y благодаря тому, что степень всех членов, входящих слагаемыми в это уравнение (8x2, 6xy, y2), одна и та же — она равна двум.
Поэтому после деления на y2 каждое слагаемое выразилось через x / y.

Многочлен от двух переменных x и y такой, что степень каждого его члена равна одному и тому же числу k, называется однородным многочленом степени k.

Уравнение вида P (x, y) = 0 называется однородным уравнением степени k относительно x и y, если P (x, y) — однородный многочлен степени k.
Однородное уравнение относительно x и y делением на yk (если y = 0 не является корнем уравнения) превращается в уравнение относительно неизвестного x / y. Это свойство однородного уравнения помогает решать многие задачи.

Пример 8.37. Решить систему уравнений

y2 ( xy = (12, x2 ( xy = 28.

Решение. Ни одно из уравнений системы не является однородным. Но если умножить первое уравнение на 7 и прибавить к нему почленно второе уравнение, умноженное на 3, то получится уравнение 7y2 ( 10xy + 3x2 = 0, являющееся следствием исходной системы. Разделим обе части уравнения на x2 и решим уравнение 7U2 ( 10U + 3 = 0 (здесь U = y / x, причём из второго уравнения системы следует, что x ( 0). Находим, что y = x или y = 3x / 7. Подставляя это выражение во второе уравнение и, рассмотрев оба случая, найдём решения:

x1 = 7, y1 = 3; x2 = (7, y2 = (3.

Ответ: x1 = 7, y1 = 3; x2 = (7, y2 = (3.

Мы получили решения системы путём выведения из заданных уравнений вспомогательного следствия. Такой способ решения систем в некоторых случаях приводит к появлению «посторонних» корней — значений x и y, не удовлетворяющих исходной системе. Поэтому найденные корни надо проверить, подставив их исходную систему и убедившись, что уравнения системы обращаются в верные числовые равенства.

Пример 8.38. Решим уравнение (x ( 1)4 + 9(x + 1)4 = 10(x2 ( 1)2.

Решение. Если раскрыть все скобки и привести подобные члены, то получится уравнение четвёртой степени. Попробуем другой путь: введём новые неизвестные U и V:

U = (x ( 1)2, V = (x + 1)2.

Уравнение примет вид U2 + 9V2 = 10UV.

Это уравнение однородное, и после деления на V2 оно становится уравнением относительно неизвестного W:

W = U / V = (x ( 1)2 / (x + 1)2.

Решим вспомогательное уравнение

W2 ( 10W + 9 = 0.

Его корни W1 = 1, W2 = 9. Осталось решить уравнения

(x ( 1)2 / (x + 1)2 = 1 и (x ( 1)2 / (x + 1)2 = 9.

Из первого уравнения следует, что либо (x ( 1) / (x + 1) = 1, либо

(x ( 1) / (x + 1) = (1.

Из второго получаем, что либо (x ( 1) / (x + 1) = 3, либо (x ( 1) /
(x + 1) = (3. Решая получившиеся уравнения, видим, что первое из них не имеет корней, а из трёх остальных получаем x1 = 0, x2 = ( 2, x3 = (0,5.

Ответ: x1 = 0, x2 = ( 2, x3 = (0,5.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: доклад по обж, курсовые работы.





Предыдущая страница реферата | 13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23 | Следующая страница реферата