Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

1(4

Соотношения 1(2( 1(3( 1(4 описывают исправленный метод Эйлера(

Чтобы выяснить( насколько хорошо этот метод согласуется с разложением в ряд Тейлора( вспомним( что разложение в ряд функции f(x(y) можно записать следующим образом:

f(x(y)=f(xm(ym)+(x-xm)(f/(x+(y-ym)(f/(x+(
1(5

где частные производные вычисляются при x=xm и y=ym(

Подставляя в формулу 1(5 x=xm+h и y=ym+hy(m и используя выражение 1(3 для y(m( получаем f(xm+h(ym+hy(m)=f+hfx+hffy+O(h2)(

где снова функция f и ее производные вычисляются в точке xm(ym( Подставляя результат в 1(2 и производя необходимые преобразования( получаем

Ф(xm(ym(h)=f+h/2(fx+ffy)+O(h2)(

Подставим полученное выражение в 1(4 и сравним с рядом Тейлора ym+1=ym+hf+h2/2(fx+ffy)+O(h3)(

Как видим( исправленный метод Эйлера согласуется с разложением в ряд
Тейлора вплоть до членов степени h2( являясь( таким образом( методом Рунге-
Кутты второго порядка(

Рассмотрим модификационный метод Эйлера( Рассмотрим рис(3 где первоначальное построение сделано так же( как и на рис(2( Но на этот раз мы берем точку( лежащую на пересечении этой прямой и ординатой x=x+h/2( На рисунке эта точка образована через Р( а ее ордината равна y=ym+(h/2)y(m(
Вычислим тангенс угла наклона касательной в этой точке

Ф(xm(ym(h)=f+(xm+h/2(ym+h/2*y(m)(

1(6

где y(m=f(xm(ym)

1(7

Прямая с таким наклоном( проходящая через Р( обозначена через (*(
Вслед за тем( мы проводим через точку xm(ym прямую параллельную (*( и обозначаем ее через L0( Пересечение этой прямой с ординатой x=xm+h и даст искомую точку xm+1(ym+1( Уравнение прямой можно записать в виде y=ym+(x- xm)Ф(xm(ym(h)( где Ф задается формулой 1(6( Поэтому

ym+1=ym+hФ(xm(ym(h)

1(8

Соотношения 1(6( 1(7( 1(8 описывают так называемый модификационный метод Эйлера и является еще одним методом Рунге-Кутта второго порядка(
Обобщим оба метода( Заметим( что оба метода описываются формулами вида

ym+1=ym+hФ(xm(ym(h)

1(9

и в обоих случаях Ф имеет вид

Ф(xm(ym(h)=a1f(xm(ym)+a2f(xm+b1h(ym+b2hy(m)(
1(10 где y(m=f(xm(ym)

1(11

В частности( для исправленного метода Эйлера

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: сочинение описание, отечественная война реферат.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата