Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге-Куты 4 порядка
| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: конспект, реферат методы
| Добавил(а) на сайт: Juferev.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 | Следующая страница реферата
a1=a2=1/2; b1=b2=1(
В то время как для модификационного метода Эйлера
a1=0( a2=1( b1=b2=1/2(
Формулы 1(9( 1(10( 1(11 описывают некоторый метод типа Рунге-Кутты(
Посмотрим( какого порядка метод можно рассчитывать получить в лучшем случае
и каковы допустимые значения параметров a1( a2( b1 и b2 (
Чтобы получить соответствие ряду Тейлора вплоть до членов степени h( в общем случае достаточно одного параметра( Чтобы получить согласование вплоть до членов степени h2( потребуется еще два параметра( так как необходимо учитывать члены h2fx и h2ffy( Так как у нас имеется всего четыре параметра( три из которых потребуются для создания согласования с рядом Тейлора вплоть до членов порядка h2( то самое лучшее( на что здесь можно рассчитывать - это метод второго порядка(
В разложении f(x(y) в ряд 1(5 в окрестности точки xm(ym положим
x=xm+b1h( y=ym+b2hf(
Тогда f(xm+b1h(ym+b2hf)=f+b1hfx+b2hffy+O(h2)( где функция и производные в
правой части равенства вычислены в точке xm(ym(
Тогда 1(9 можно переписать в виде ym+1=ym+h[a1f+a2f+h(a2b1fx+a2b2ffy)]+O(h3)(
Сравнив эту формулу с разложением в ряд Тейлора( можно переписать в виде
ym+1=ym+h[a1f+a2f+h(a2b1fx+a2b2ffy)]+O(h3)(
Если потребовать совпадения членов hf( то a1+a2=1(
Сравнивая члены( содержащие h2fx( получаем a2b1=1/2(
Сравнивая члены( содержащие h2ffy( получаем a2b2=1/2(
Так как мы пришли к трем уравнениям для определения четырех неизвестных( то одно из этих неизвестных можно задать произвольно( исключая( может быть( нуль( в зависимости от того( какой параметр взять в качестве произвольного(
Положим( например( a2=((0( тогда a1=1-(( b1=b2=1/2( и соотношения 1(9(
1(10( 1(11 сведутся к
ym+1=ym+h[(1-()f(xm(ym)+(f(xm+h/2((ym+h/2(f(xm(ym))]+O(h3)
1(12
Это наиболее общая форма записи метода Рунге-Кутта второго порядка( При
(=1/2 мы получаем исправленный метод Эйлера( при (=1 получаем
модификационный метод Эйлера( Для всех (( отличных от нуля( ошибка
ограничения равна
et=kh3
1(13
Методы Рунге-Кутта третьего и четвертого порядков можно вывести совершенно аналогично тому( как это делалось при выводе методов первого и второго порядков( Мы не будем воспроизводить выкладки( а ограничимся тем( что приведем формулы( описывающие метод четвертого порядка( один из самых употребляемых методов интегрирования дифференциальных уравнений( Этот классический метод Рунге-Кутта описывается системой следующих пяти соотношений
ym+1=ym+h/6(R1+2R2+2R3+R4)
1(14 где R1=f(xm(ym)(
1(15
R2=f(xm+h/2(ym+hR1/2)(
1(16
R3=f(xm+h/2(ym+hR2/2)(
1(17
Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: сочинение описание, отечественная война реферат.
Категории:
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 | Следующая страница реферата