Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 | Следующая страница реферата

UN+2<qUN+1< q2UN

                            

Рассмотрим теперь два ряда:

U1+U2+...+UN+Un+1+... (1)

UN+qUN+q2UN+...       (1’). Ряд (1’) есть геом прогрессия с положит знаменат q<1. Следоват-но, этот ряд сходится. Члены ряда (1), начиная с UN+1, меньше членов ряда (1’), следоват-но, ряд (1) сходится. Ч.т.д. 2) Пусть L>1. тогда из равенства lim(Un+1/Un)=L следует, что, начиная с некот. N, т.е. для n³N, будет иметь место нер-во (Un+1/Un)>1, или Un+1>Un для всех n³N. Но это озн-ет, что члены ряда возрастают, начиная с номера N+1, и поэтому общий член ряда не стремится к нулю. Значит, ряд расходится.

4)Признак Коши. Если для ряда с положит членами limnÖUn=L, то: 1) ряд сходится, если L<1; 2)расходится, если L>1.

Док-во: 1) пусть L<1. Рассмотр число q, L<q<1. Начиная с некот n=N, будет иметь место соотношение

| nÖUn–L|<q–L; осюда следует, что nÖUn<q или Un<qn для всех n³N. Рассмотрим теперь два ряда: U1+U2+...+UN+UN+1+... (1) и qN+qN+1+qN+2+... (1’). Ряд (1’) сходится, т.к. его члены обр-ют убыв. геом прогр. Члены ряда (1), начиная с UN, меньше членов ряда (1’). Значит, ряд (1) сходится. 2) Пусть L>1. Тогда, начиная с некот номера n=N, будем иметь: nÖUn>1 или Un>1. но если все члены рассматр ряда, начиная с UN, больше 1, то ряд расходится, т.к. его общий член не стремится к нулю.

5)Интегральный признак сходимости. Имеем ряд ¥ån=1Un, где члены ряда убывают Un>Un+1>0. Есть фун f(x)>0, хÎ[1;¥] непрерывная и убывающая и такая, что при целых значениях х=n значение фун-и f(n)=Un.

Если не собственный интеграл ¥ò1f(x)dx – сходиться, то ряд сходится. Если не собственный интеграл ¥ò1f(x)dx – расходиться, то ряд расходится.

Знакочередующиеся ряды.

Под знакочередующимся рядом понимается ряд, в котором члены попеременно то положительны, то отрицательны.

Т.Лейбница: Если члены знакочередующегося  ряда убывают по абсолютной величине U1>U2>U3… и предел его общего члена при n®¥ равен 0

(Lim n®¥ Un=0), то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена: U1³S.

  Д: Рассмотрим последовательность частичных сумм четного числа членов при n=2m:

S2m=(U1-U2)+(U3-U4)+…+(U2m-1-U2m). Эта последовательность возрастающая и ограниченная. На основании признака существования придела последовательность S2m имеет предел   Limm®¥S2m=S. Переходя к пределу в неравенстве S2m<U1 при  m®¥, получим, что U1³S.  Рассмотрим последовательность частичных сумм нечетного числа членов при n= 2m+1. Очевидно, что S2m+1=S2m+A2m+1; Поэтому учитывая необходимый признак сходимости ряда, Lim m®¥ S2m+1=

=Limm®¥ S2m+ Lim m®¥ А2m+1=S+0=S. Итак, при любом n (четном и нечетном) Lim n®¥ Sn=S, т.е. ряд сходится.

Знакопеременные ряды.

Пусть U1+U2+U3….+Un+ знакопеременный ряд (*), в котором любой его член Un может быть как положительным, так и отрицательным.

Т.(Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда): Если ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда (*) и если ряд ¥ån=1½Un½; |U1|+|U2|+…+|Un|+…(1), сходится и наз абс. сходящимся. Обратное утверж не справедливо.

Д: Обозначим Sn+ и Sn-  суммы абсолютных величин членов данного ряда (*), входящих со знаком плюс и минус.  Тогда частичная сумма данного ряда Sn1=Sn+-Sn- , а ряда составленного из абсолютных величин его членов Sn2= Sn++Sn- .  По условию ряд (1) сходится, значит сущ-т конечный предел   Limn®¥Sn2=S.       Последовательности Sn+ и Sn-  являются возрастающими и ограниченными (Sn+ ≤ S  Sn- ≤ S ), значит существуют пределы

Limn®¥Sn+ и Limn®¥Sn-, и соответственно предел частичной суммы данного ряда

Limn®¥Sn1=Lim n®¥Sn+ -Lim n®¥ Sn- , т.е. ряд (*) сходится.·

Если ряд |U1|+|U2|+…+|Un|+…сходиться, то ряд U1+U2+U3….+Un+ наз абс. сходящимся.

 Если ряд U1+U2+U3….+Un+  сходиться, а ряд |U1|+|U2|+…+|Un|+…расходиться, то ряд U1+U2+U3….+Un+   наз усл. сходящимся.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: бесплатные ответы, недвижимость реферат.





Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 | Следующая страница реферата