Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Рассмотрим в плоскости ОХУ замкнутую область D ограниченную линией L. Пусть в области D задана непрерывная функция z=f(x,y). Разобьем D на n частей(DS1,DS2,DS3…DSn). На каждой площадке возьмем по точке Pi (P1,P2,P3…Pn). f(Pi) – значение функции в заданной точке. Возмем сумму произведений вида: f(Pi)DSi. Vn=nåi=1f(Pi)DSi – это интегральная сумма для функции f(x,y) по обл D.

Опр: Предел limmax di®0nåi=1f(Pi)DSi интегральной суммы nåi=1f(Pi)DSi, если он сущ-ет независимо от способа разбиения обл D на DDi и от выбора точек PiÎDi наз двойным интегралом зад фун z=f(x;y) по обл D.

Теорема: Если сущ-ет фун z=f(x;y) непрерывна в заданной обл `D, то сущ-ет предел limmax di®0nåi=1f(Pi)DSi

т.е. сущ-ет двойной интеграл для данной фун по данной области. limmax di®0nåi=1f(Pi)DSi=óóD f(x;y)dxdy=(или)= =óóD f(x;y)dS/¶

Св-ва:

1)óóD(f1(x,y)+f2(x,y))dxdy=óóDf1(x,y)dxdy+óóDf2(x,y)dxdy

2) ó óDa f(x,y)dxdy=aó óD f(x,y)dxdy.

3) Если область D=D1ÈD2, то

ó óDf(x,y)=ó óD1f(x,y))+ó óD2f(x,y).

Док-во: Инегральную сумму по обл D можно представить в виде D1 и D2.

ó óDf(Pi)DSi=ó óD1f(Pi)DSi +ó óD2f(Pi)DSi , где превая сумма содержит слагаемые, соот-е площади обл D1, вторая – соот-е площадкам обл D2. В самом деле, т.к. двойной интеграл не зависит от способа разбиения, то мы производим разбиение области D так, что общая граница областей D1 и D2 яв-ся границей площадок DSi. Переходя в равенство

ó óDf(Pi)DSi=ó óD1f(Pi)DSi +ó óD2f(Pi)DSi к пределу при DSi®0, получаем равенство

ó óDf(x,y)=ó óD1f(x,y))+ó óD2f(x,y).·

4) Если фун f(x,y)=1, то ó óD1dxdy=SD

5) Если фун в данной области f(x,y)³(£)0, то интегр от этой фун отриц (полож) не может быть      

ó óD f(x,y)dxdy³(£)0

6) Если f1(x,y)³f2(x,y), то

óóDf1(x,y)dxdy³óóDf2(x,y)dxdy

7)Теорема о среднем: Двукратный интеграл ID от f(x,y) по области D с площадью S равен произведению площади S на значение функции в некоторой точке P области D.

вó а ( j2(x)ó  j1(x)f(x,y)dy)dx=f(P)*S.

Док-во: Из соот-я

mS£вóа(j2(x)ój1(x)f(x,y)dy)dx=f(P)*S£MS получаем mS£1/S*ID£MS. Число 1/S*ID заключено между наиболь и наимень знач f(x,y) в области D. В силу непрерывности фун f(x,y) принимает в некоторой точке P обл D принимает значение равное 1/S*ID .

Двукратный интеграл

Пусть дана область D такая, что любая прямая параллельная одной из осей пересекает эту область в двух точках. Пусть область D ограничена линиями y=f1(x), y=f2(x), y=a, y=b (a<b, f1(x)<f2(x)).  Пусть  f(x,y) непрерывна в области D.

Рассмотрим ID=вóаf2(x)óf1(x)f(x,y)dydx=вóаФ(х)dx

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: бесплатные ответы, недвижимость реферат.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата