.https-linkhead
Образовательный портал Claw.ru
Всё для учебы, работы и отдыха
» Шпаргалки, рефераты, курсовые
» Сочинения и изложения
» Конспекты и лекции
» Энциклопедии

Теперь ясно, что an возрастает и стремится к пределу 1/2.

В противоположность предыдущему примеру здесь мы имеем дело с хорошим приближением: √n² + 1 – n < 1/2n.

4 (M532). Даны две последовательности an = √n+1 + √n и bn = √4n+2. Докажите, что

а) [an] = [bn],

б) 0 < bn – an < 1/16n√n.

В разности bn – an появляется «тройная иррациональность»; к таким иррациональностям мы ещё вернёмся (см. задачу 8), но пока мы будем рассматривать √n+1 + √n = an как одно целое. Заметим, что величина an2=2n+1+2√n(n+1), очевидно, заключена между 4n+1 и 4n+2=bn2, поскольку n < √n(n+1) < n+1. Итак, мы уже получили an < bn — левое неравенство в б). Кроме того, число bn2 = 4n+2, дающее при делении на 4 в остатке 2, не может быть полным квадратом (проверьте!), поэтому квадрат целого числа [bn] не больше 4n+1; из неравенств [bn] ≤ √4n+1 < an < bn вытекает а). Теперь осталось оценить разность bn – an сверху. Посмотрите, как здесь дважды работает переброска «сопряжённого» числа в знаменатель:

√4n+2 – √n – √n+1 =

2n + 1 – 2√n(n + 1)

√4n + 2 + √n + √n + 1

 =

=

1

(√4n + 2 + √n + √n + 1)(2n + 1 + 2√n(n + 1) )

 ≤

(тут, конечно, нам повезло:

разность квадратов (2n + 1)2 – 4n(n + 1) равна 1)

1

(2√n + √n + √n)(2n + 2n)

 =

1

16n√n

 .

Заметим, что и эта оценка очень точная. Но убедиться в этом (и вообще исследовать поведение функции с многими радикалами) лучше уже не с помощью алгебраических преобразований, а средствами анализа — заменить переменную n на h = 1/n и воспользоваться формулой Тейлора √1 + h = 1 + h/2 – h2/8 + ... (См. [6 ].)

Заменим плюс на минус


Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: ответы по биологии, сочинение ревизор.


Категории:




Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 |


Поделитесь этой записью или добавьте в закладки

   



Рефераты от А до Я


Полезные заметки



  •   тест 26.05.2024