Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата



(10.4)

тогда математическое ожидание E(x*) равно сумме математических ожиданий Е(х)

(10.5) 11.Дисперсия случайной величины.

Дисперсией D(x) случайной величины х называют число, которое определяется по формуле

D(x)=E(x–E(x))(11.1)

Поэтому дисперсия D(x) случайной величины х, которая может принимать значения с вероятностями Р,…Р определяется, как число i=k i=k j=k

D(x)=∑(x–E(x))∙P=∑(x–)∙P (11.2)

i=1 i=1 j=1

Например, в случае с игральной костью для дисперсии D(x) получаем следующее число

D(x)==(1/6)∙((1-7/2)+(2-7/2)+(3-7/2)+(4-7/2)+(5-7/2)+(6-7/2))=(1/6)∙(25/4+9/4+1/4+1/4+9/4+25/4)=(1/6)∙(35/2)=35/12(11.3)

Пусть некоторая случайная величина х* является суммой (10.4) случайных величин . Пусть эти случайные величины независимы. Это означает, что вероятность, с которой может осуществиться то или иное значение случайной величины не зависит от того, какое значение принимают другие случайные величины . Тогда доказывается, что дисперсия случайной величины х* является суммой дисперсии случайных величин

(11.4)

Важно заметить, что если случайные величины не являются независимыми, то дисперсия их суммы не обязательно равна сумме их дисперсий.

12.Закон больших чисел.

В этом разделе приведу аккуратную формулировку закона больших чисел, которая восходит к замечательному математику нашей страны П.Л.Чебышеву. Пусть имеем некоторую случайную величину х. Выберем какое-нибудь положительное число М. Отберем те значения случайной величины х, для которых выполняется условие

(12.1)

Из выражения для дисперсии (11.2) и из неравенства (12.1) вытекает следующее неравенство

РРР (12.2)

Здесь суммирование в (12.2) выполняется по тем индексам j, для которых выполнено неравенство.

Предположим теперь, что произведено n независимых испытаний. Пусть в i-том испытании осуществляется значение случайной величины . Пусть математические ожидания и дисперсии всех этих независимых случайных величин одинаковы. Тогда согласно материалу из разделов 10,11 для суммы

(12.3)

этих случайных величин и из (12.2) получаем следующее неравенство

Р

·Р (12.4)

Так как случайные величины независимы, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий. Кроме того, все дисперсии равны друг другу и все математические ожидания тоже равны друг другу . Поэтому из (12.4) получаем неравенство

Р (12.5)

Введем число ε=M/n. Тогда из (12.5) получаем неравенство

Р (12.6)

Отсюда для противоположного события

(12.7)

из (12.6) получаем следующее неравенство П.Л.Чебышева

Р (12.8)

Таким образом, из (12.8) получается закон больших чисел П.Л.Чебышева:

Для любого сколь угодно малого положительного числа ε и числа β<1 найдется такое число N, что при числе испытаний n>N, будет справедливо неравенство

(12.9)

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: российская федерация реферат, антикризисное управление предприятием.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата