$n0=n0(e/3):|xn-a|<e/3  и  |xn-b|<e/3

e=a-b=(a-xn)-(b-xn)

e=|(a-xn)-(b-xn)|£ |(a-xn)|+|(b-xn)|£2e/3

e£2e/3 Противоречие.

2. Ограниченность (Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена)

Дано: $limxn=a, при n®¥  -  конечный предел

Док-ть:$M>0:|xn|<M "n

Док-во: limxn=a, при n®¥:"e>0 $n0=n0(e):a-e<xn<a+e, при n>n0

Пусть e=1, тогда при n>n0(1) будет выполняться a-1<xn<a+1 или |xn-a|<1

Тогда |xn|<|(xn-a)+a|<|xn-a|+|a|<|a|+1  "n>n0(1)

P=maxa1

M=max+1Þ|xn|<M "n

3. Предел подпоследовательности (Если последовательность имеет предел а, то любая

 её подпоследовательность имеет тоже предел а)

Свойства предельного перехода связанные с  неравенствами:

Теорема 1. Пусть $limxn=x, при n®¥ - конечный (1 последовательность)

                               $limyn=y, при n®¥ - конечный (2 последовательность)

Если x<y, то для почти всех n  xn<yn

Док-во: e=y-x>0

$n|=n|(e/3): |xn-x|<e/3 "n>n|

$n||=n||(e/3): |yn-y|<e/3 "n>n|

n0=max, n>n0

x-e/3<xn<x+e/3 î

y-e/3<yn<y+e/3 ì Þ xn<x+e/3<y-e/3<yn Þ "n>n0 xn<yn  Что и т. док-ть.