Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

2) [pic] вещественны и [pic]. Полученные в случае узла формулы сохраняют силу. Соответствующая геометрическая картина, называемая седлом, изображена на рис. 1б.

3) [pic] комплексно-сопряженные. Пусть [pic]. В преобразовании X = SY
[pic], где [pic] и [pic] — линейно независимые собственные векторы, соответствующие [pic] и [pic]. Так как А вещественна, [pic] и [pic] можно выбрать комплексно-сопряженными. Тогда и [pic]. Положим [pic], [pic], а в качестве фазовой плоскости возьмем [pic]. Переменная [pic] связана с Х соотношением X = SY = = STZ = QZ, где [pic], [pic]. Следовательно, Q — вещественная неособая матрица. Преобразование приводит к виду

[pic] где матрица коэффициентов образует вещественную жорданову форму матрицы А.

Введем полярные координаты [pic], или [pic], [pic]. Имеем: [pic].
Отделяя вещественные и мнимые части, получим:

[pic].

Следовательно, [pic]. При [pic] траектории образуют спирали (рис. 1в).
Такое положение траекторий называется фокусом. При [pic] все траектории — окружности. В этом случае получаем центр. В случае центра все решения системы (3) периодические с периодом 2?/?.

4) [pic]. Жорданова форма матрицы А имеет треугольный вид, а система преобразуется к виду

[pic]

Решением этой системы будет функция [pic]. В зависимости от формы матрицы J получаются два случая: или вырожденный узел (рис. 1г), либо звездный (дикритический) узел. Дикритический узел возможен лишь в случае системы [pic]

[pic]
Рис. 1. Поведение траекторий в зависимости от значений собственных чисел

1.5. Линейные однородные системы

с периодическими коэффициентами.

В данном пункте излагается так называемая теория Флоке.

Будем рассматривать систему вида [pic] (4) где [pic], а матричная функция P(t) удовлетворяет условию P(t + ?) = P(t),
?>0 при всех [pic]. Такие матричные функции будем называть периодическими с периодом ? или ?-периодическими.

Теорема Флоке. Фундаментальная матрица системы (4) имеет вид

[pic] где G — ?-периодическая матрица, R — постоянная матрица.

Матрица В, определяемая равенством [pic], называется матрицей монодромии. Для нее справедливо [pic]. Она определяется с помощью фундаментальной матрицы неоднозначно, но можно показать, что все матрицы монодромии подобны. Часто матрицей монодромии называют ту, которая порождается нормированной при [pic] фундаментальной матрицей [pic], то есть
[pic].

Собственные числа [pic] матрицы монодромии называются мультипликаторами уравнения (4), а собственные числа [pic] матрицы R — характеристическими показателями. Из определения R имеем [pic], при этом простым мультипликаторам соответствуют простые характеристические показатели, а кратным — характеристические показатели с элементарными делителями той же кратности.

Характеристические показатели определены с точностью до [pic]. Из [pic] и формулы Лиувилля следует, что [pic].

Название мультипликатор объясняется следующей теоремой:

Теорема. Число ? является мультипликатором уравнения (4) тогда и только тогда, когда существует ненулевое решение [pic] этого уравнения такое, что при всех t [pic].

Следствие 1. Линейная периодическая система (4) имеет нетривиальное решение периода ? тогда и только тогда, когда по меньшей мере один из ее мультипликаторов равен единице.

Следствие 2. Мультипликатору [pic] соответствует так называемое антипериодическое решение [pic] периода ?, т. е. [pic]. Отсюда имеем:

[pic]

Таким образом, [pic] есть периодическое решение с периодом [pic].
Аналогично, если [pic] (p и q — целые, [pic]), то периодическая система имеет периодическое решение с периодом [pic].

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: конспект занятия, реферати українською.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата