Предыдущая страница реферата | 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 | Следующая страница реферата

Исследуем на устойчивость положения равновесия линейной однородной системы двух уравнений с постоянными коэффициентами. Пусть [pic], где
[pic]. Как было показано в пункте 1.4, тип особой точки такой системы определяется корнями характеристического уравнения [pic] или [pic]. Его корни можно найти по формуле

[pic].

Рассмотрим следующие случаи согласно пункту 1.4.

1) [pic] вещественны, различны и [pic] ([pic]). Параметрические уравнения траекторий: [pic]. Положение равновесия называется узел. Если корни [pic] положительны ([pic]), то решения будут неограниченно возрастать, и особая точка — неустойчивый узел.

Если [pic] отрицательны ([pic]), то решения с ростом времени будут неограниченно уменьшаться, то есть положение равновесия будет асимптотически устойчивым. Особая точка — устойчивый узел.

[pic] [pic]

2) [pic] вещественны и [pic] ([pic]). В этом случае одна из траекторий всегда будет неограниченно возрастать, а другая неограниченно уменьшаться.
Таким образом, седло всегда неустойчиво.

[pic]

3) [pic] комплексно-сопряженные, но не чисто мнимые ([pic]). Решение в полярных координатах запишется в виде [pic], где [pic]. Если [pic] ([pic]), то спирали будут раскручиваться от особой точки, и фокус будет неустойчивым.

Если [pic] ([pic]), то особая точка — устойчивый фокус, причем устойчивость асимптотическая.

[pic] [pic]

4) [pic] ([pic]). Особая точка — центр, траектории — окружности, то есть положение равновесия является устойчивым, но не асимптотически.

[pic]

5) [pic]. Если [pic], то получаем неустойчивый узел, либо вырожденный, либо дикритический. Если [pic], положение равновесия будет асимптотически устойчивым.

[pic] [pic] [pic]

6) Один из корней равен нулю (например [pic]). Траекториями являются прямые, параллельные друг другу. Если [pic], то получаем прямую неустойчивых особых точек. Если [pic], то прямая будет содержать устойчивые особые точки.

7) Оба корня равны нулю. Тогда [pic]. Особая точка неустойчива.

Пример. Рассмотрим систему [pic]. Положение равновесия находится из уравнения [pic], или [pic], откуда [pic]. Следовательно, положение равновесия — неустойчивый узел. Жорданова форма матрицы А имеет вид:

[pic].

Найдем координаты преобразования [pic], приводящего матрицу А к жордановой форме, то есть переводящего систему к виду [pic]. Дифференцируя эти уравнения и подставляя в исходную систему, получаем:

[pic] откуда с учетом [pic] [pic], ? — произвольное, [pic], ? — произвольное.
Получаем преобразование [pic]. Определим новое положение осей:

[pic]

Решение системы [pic] запишется в виде [pic], а исходной системы отсюда
[pic]. Схематическое изображение траекторий:

[pic]

Рассмотрим теперь некоторые положения равновесия в трехмерном пространстве. Характеристическое уравнение — кубическое с вещественными коэффициентами, оно может иметь три вещественных или один вещественный и два комплексно-сопряженных корня. В зависимости от расположения этих корней
[pic] на плоскости [pic] возможно 10 "грубых" случаев (рис. 3, 1)-5) и 1')-
5')) и ряд "вырожденных" (рис. 3, 6)-9)), когда вещественная часть одного из корней равна нулю или вещественной части не сопряженного с ним корня.
Случаи кратных корней здесь не рассматриваются.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: конспект занятия, реферати українською.





Предыдущая страница реферата | 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 | Следующая страница реферата