Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 | Следующая страница реферата

[pic]. (7)
Отсюда, из (6) и (4) следует, что при [pic] [pic]. По условию теоремы
[pic], где [pic] — определенно-положительная функция. Пусть [pic]. Из (3) следует, что при всех [pic] [pic], что противоречит определенной положительности [pic]. Полученное противоречие доказывает теорему.

В случае когда уравнение автономно, условия теоремы (2) можно ослабить.

Теорема 3. Пусть уравнение (1) автономно, выполнены условия теоремы 1 и множество [pic] не содержит целиком полных траекторий уравнения (1), за исключением положения равновесия [pic]. Тогда решение [pic] асимптотически устойчиво.

Доказательство. Используем доказательство теоремы 2 до формулы (7) включительно. Далее, пусть [pic] — ?-предельная точка траектории [pic]. Из определения ?-предельной точки и (7) следует, что [pic]. По первому свойству предельных множеств (п. 1.3.) все точки траектории [pic] являются
?-предельными для траектории [pic]. Следовательно, для всех t, при которых определено решение [pic], [pic]. Отсюда и из (3) следует, что при указанных t [pic], что противоречит условию теоремы, так как [pic] не совпадает с началом координат. Теорема доказана.

Пример. Рассмотрим уравнение движения диссипативной системы с одной степенью свободы [pic], где [pic] удовлетворяют условию Липшица при [pic],
[pic] удовлетворяет условию [pic] при [pic] и [pic] при [pic]. Докажем, что положение равновесия [pic] асимптотически устойчиво.

Соответствующая система двух уравнений имеет вид

[pic].
В качестве функции Ляпунова возьмем полную энергию системы [pic].
В силу условия [pic] V —определенно-положительная функция, при этом

[pic].
Следовательно, DV —отрицательная функция и множество M — интервал оси абсцисс при [pic]. Так как при [pic] при [pic], то множество M не содержит целых траекторий, отличных от положения равновесия [pic].

По теореме 3 решение [pic] системы асимптотически устойчиво, что и требовалось доказать.

Перейдем к рассмотрению неустойчивости. Пусть [pic] — функция Ляпунова.
Обозначим через [pic] любую связную компоненту открытого множества [pic] с началом координат на ее границе.

Теорема 4. Пусть существует функция Ляпунова [pic] такая, что [pic] не пусто и при [pic]. Тогда решение [pic] уравнения (1) неустойчиво.

Доказательство. Пусть [pic]. Будем рассматривать решения [pic] с начальной точкой [pic]. Достаточно показать, что для каждого из этих решений можно указать момент T (для каждого решения свой) такой, что [pic].

Пусть это неверно, т. е. существует решение [pic], удовлетворяющее при всех [pic] неравенству [pic]. Покажем, что траектория решения [pic] принадлежит [pic] при [pic]. Действительно, по определению [pic] она может покинуть область [pic] только через ту часть ее границы, где [pic]. Но это невозможно, так как [pic] и при возрастании [pic] функция [pic] строго возрастает, пока [pic], в силу (3).

Итак, доказано, что при [pic] [pic] и [pic]. Следовательно, по условию теоремы [pic] при [pic]. Интегрируя (3) от [pic] до [pic], получаем

[pic], что противоречит ограниченности [pic] при [pic]. Противоречие доказывает теорему.

Пример. Рассмотрим уравнение [pic], где [pic] — удовлетворяющая условию
Липшица при [pic] функция такая, что [pic] при [pic]. Докажем неустойчивость решения [pic].

Рассмотрим систему [pic], соответствующую уравнению примера. В качестве функции Ляпунова возьмем [pic]. Имеем:

[pic].
По теореме 4 решение [pic] системы неустойчиво, что и требовалось доказать.

3.3. Устойчивость по первому приближению.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

[pic], (8) где [pic] — заданная квадратичная форма.

Лемма 1. Если собственные числа матрицы A удовлетворяют условию

[pic], (9) то уравнение (8) имеет единственное решение [pic], являющееся квадратичной формой.

В следующих двух леммах будут построены квадратичные формы, являющиеся функциями Ляпунова для линейного уравнения

[pic] (10) и удовлетворяющие условиям теорем 2 и 4.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: конспект занятия, реферати українською.





Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 | Следующая страница реферата