Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 | Следующая страница реферата

3. Второй метод Ляпунова.

3.1. Основные определения.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

[pic], (1) где [pic]. Предположим, что G — область единственности и [pic] при всех
[pic], т. е. уравнение (1) имеет тривиальное решение [pic]. Рассмотрим вопрос об устойчивости этого решения.

Сущность второго метода Ляпунова заключается в исследовании поведения некоторой функции [pic] как функции t при замене x на произвольное решение уравнения (1). В дальнейшем используем определения устойчивости и асимптотической устойчивости, где [pic].

Под функцией Ляпунова будем понимать любую непрерывную функцию [pic] такую, что [pic] при всех [pic]. На множестве функций Ляпунова [pic] задан линейный оператор D, определяемый формулой

[pic]. (2)

[pic] называется производной V в силу уравнения (1). Справедлива формула

[pic], (3) где [pic] — решение уравнения (1) с начальными данными [pic].

Определение. Функция Ляпунова [pic], не зависящая от t, называется определенно-положительной, если в области G при [pic] [pic]. Функция
Ляпунова [pic] называется определенно-положительной, если существует определенно-положительная функция [pic] такая, что [pic]. Функция Ляпунова
[pic] называется определенно-отрицательной, если [pic] — определенно- положительная функция.

Определение. Функция Ляпунова [pic] называется положительной, если
[pic] в области G и отрицательной, если [pic] в G.

Таким образом, функцию Ляпунова, тождественно равную в G нулю, можно рассматривать и как положительную, и как отрицательную.

Отметим следующее свойство определенно-положительных и определенно- отрицательных функций: если [pic], то [pic]. (4)

Импликация [pic] в (4) вытекает непосредственно из определения функций
Ляпунова. Чтобы обосновать импликацию [pic], рассмотрим произвольную последовательность [pic], [pic], для которой [pic] при [pic]. Покажем, что
[pic] при [pic]. Предположим, что это неверно. Тогда найдется подпоследовательность [pic] и положительное число [pic] такие, что [pic].
Согласно определению [pic], где [pic] — определенно-положительная функция.
Положим [pic]. Множество [pic] компактно, поэтому по теореме анализа [pic], где [pic], следовательно, [pic]. Тогда [pic], что противоречит свойству последовательности [pic].

3.2. Теоремы второго метода Ляпунова.

Теорема 1. Пусть существует определенно-положительная функция Ляпунова
[pic], такая, что DV есть отрицательная функция. Тогда решение [pic] уравнения (1) устойчиво по Ляпунову.

Доказательство. Пусть ? — произвольная положительная постоянная, [pic].
Положим [pic] при [pic]. Так как V определенно-положительная, то [pic]. По l найдем [pic] такое, чтобы [pic]. Рассмотрим решение [pic] при [pic].
Покажем, что

[pic]. (5)

Пусть (5) не имеет места. Тогда существует [pic] такое, что [pic], а при [pic]. В силу (3) и условия теоремы функция [pic] является при [pic] невозрастающей функцией t. Так как [pic], то [pic], тогда тем более [pic], что противоречит определению T и тому, что [pic]. Таким образом, импликация
(5) имеет место, а это и означает по определению устойчивость решения [pic] по Ляпунову. Теорема доказана.

Следствие. Если уравнение (1) имеет в области G определенно- положительный интеграл, не зависящий от t и уничтожающийся в начале координат, то решение [pic] устойчиво по Ляпунову.

Теорема 2. Пусть существует определенно-положительная функция Ляпунова
[pic], такая, что DV определенно-отрицательная при [pic]. Тогда решение
[pic] уравнения (1) асимптотически устойчиво.

Доказательство. Условия теоремы 1 выполнены, и решение [pic] устойчиво по Ляпунову. Следовательно, существует [pic] такое, что

[pic] при [pic]. (6)

Из определения асимптотической устойчивости в силу (4) заключаем, что достаточно доказать импликацию [pic] при [pic]. В силу (3) и условия теоремы [pic] — строго убывающая функция t.

Предположим, что теорема неверна. Тогда

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: конспект занятия, реферати українською.





Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 | Следующая страница реферата