Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Следствие. Пусть [pic], [pic] — нормированная при [pic] фундаментальная матрица уравнения (3). Любая фундаментальная матрица уравнения (3) ограничена, не ограничена или бесконечно мала по норме вместе с [pic].

Теорема 1. 1) Для того чтобы уравнение (3) было устойчивым по Ляпунову, необходимо и достаточно, чтобы его фундаментальные матрицы были ограничены при [pic]. 2) Для того чтобы уравнение (3) было асимптотически устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы его фундаментальные матрицы были бесконечно малыми при [pic].

Доказательство. 1) Достаточность. Пусть [pic] ограничена на [pic].
Решение [pic] задается формулой [pic]. (*)
Так как [pic], то [pic]. Следовательно, уравнение (3) устойчиво по
Ляпунову, так как устойчиво его тривиальное решение. Действительно, если
[pic], то при всех [pic] [pic]. (**)
Необходимость. Пусть уравнение (3) устойчиво по Ляпунову. Тогда устойчиво его тривиальное решение, и выполняется (**). Пусть [pic] фиксировано.
Положим [pic]. Если [pic], то [pic]. Из (*) и (**) имеем [pic], т. е. [pic] ограничена. Аналогично доказывается ограниченность [pic], а вместе с ними и матрицы [pic].
2) Достаточность. Пусть [pic] при [pic]. В силу (*) [pic] при всех [pic], что и дает асимптотическую устойчивость.
Необходимость. Пусть для любых [pic] при [pic]. Положим [pic]. В силу (*)
[pic], следовательно, [pic]. Аналогично доказывается, что [pic], [pic], что означает [pic] при [pic]. Теорема доказана.

Применим теорему 1 к исследованию устойчивости уравнения (3) с постоянной матрицей коэффициентов P. Уравнение (3) в этом случае имеет фундаментальную матрицу [pic], [pic], где [pic] — жорданова форма матрицы
P. По теореме 1, лемме 1 и следствию к ней устойчивость по Ляпунову, асимптотическая устойчивость и неустойчивость уравнения (3) эквивалентны соответственно ограниченности, бесконечной малости и неограниченности матрицы [pic] при [pic]. Отсюда получаем следующую теорему:

Теорема 2. Линейная однородная система с постоянным коэффициентами: 1) устойчива по Ляпунову тогда и только тогда, когда среди собственных чисел матрицы коэффициентов нет таких, вещественные части которых положительны, а число мнимые и нулевые собственные числа либо простые, либо имеют только простые элементарные делители; 2) асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда все собственные числа матрицы коэффициентов имеют отрицательные вещественные части.

Ниже рассматриваются необходимые и достаточные условия отрицательности корней характеристического уравнения линейной однородной системы с постоянными коэффициентами — критерий Гурвица (Рауса-Гурвица), а также частотный критерий Михайлова, являющийся геометрическим признаком, эквивалентным критерию Гурвица.

Определение. Полином [pic], где [pic], [pic], [pic] называется полиномом Гурвица, если все его корни имеют отрицательные вещественные части.

Если полином [pic] является полиномом Гурвица, то все [pic].

Составим [pic]-матрицу Гурвица вида

[pic]

Теорема Гурвица (критерий Гурвица). Для того чтобы полином [pic] являлся полиномом Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы были положительны все главные диагональные миноры его матрицы Гурвица [pic]:

[pic]

Если степень полинома [pic] сравнительно большая, то применение критерия Гурвица становится затруднительным. В этом случае для определения расположения корней полинома [pic] на комплексной плоскости иногда оказывается более удобным использование частотного критерия Михайлова.

Определение. Пусть [pic], где [pic], [pic], [pic]. Кривая [pic], [pic] называется годографом Михайлова функции [pic].

Критерий Михайлова непосредственно следует из леммы:

Лемма 2. Угол поворота в положительном направлении ненулевого вектора
[pic] при [pic] равен [pic], где [pic] — число корней полинома [pic] с положительной вещественной частью с учетом их кратностей.

Критерий Михайлова. Для того чтобы полином [pic], не имеющий чисто мнимых корней, являлся полиномом Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы угол поворота в положительном направлении вектора [pic] при [pic] был бы равен [pic].

Замечание. Если полином [pic] есть полином Гурвица степени [pic], то вектор [pic] монотонно поворачивается в положительном направлении на угол
[pic], то есть годограф Михайлова, выходя из точки [pic] положительной полуоси [pic], последовательно пересекает полуоси [pic], проходя [pic] квадрантов.

2.3. Устойчивость периодических решений.

Рассмотрим уравнение (3) с периодическими коэффициентами, т. е. [pic],
(4) где [pic]. По формуле (5) предыдущей главы уравнение (4) имеет в рассматриваемом случае фундаментальную матрицу [pic], где [pic] — неособая
?-периодическая непрерывная матрица, тем самым ограниченная вместе с обратной, [pic] — жорданова матрица, собственные числа [pic] которой — характеристические показатели уравнения (4). Из леммы 1 следует, что характеристические показатели играют при оценке фундаментальной матрицы ту же роль, что собственные числа [pic], когда [pic] постоянна. Учитывая, что
[pic], где [pic] — мультипликаторы уравнения, получаем следующий результат:

Теорема 3. Линейная однородная система с периодическими коэффициентами:
1) устойчива по Ляпунову тогда и только тогда, когда все ее мультипликаторы не превышают по модулю единицы, а равные единице по модулю либо простые, либо им соответствуют простые элементарные делители матрицы монодромии; 2) асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда модули всех мультипликаторов меньше единицы.

Пример. Рассмотрим уравнение из примера п. 1.5:

[pic]
Уравнение будем называть устойчивым по Ляпунову, асимптотически устойчивым или неустойчивым, если таковой является соответствующая ему линейная система. Мультипликаторы находятся из уравнения [pic]: [pic], где [pic].
Поэтому можно сделать вывод, что при [pic] оба мультипликатора вещественны и один из них по абсолютной величине больше единицы, а при [pic] мультипликаторы являются комплексно-сопряженными с модулями, равными единице. По теореме 3 при [pic] уравнение [pic] неустойчиво, а при [pic] оно устойчиво по Ляпунову, но не асимптотически.

2.4. Классификация положений равновесия

системы второго порядка.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: конспект занятия, реферати українською.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата