Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 | Следующая страница реферата

Поведение фазовых траекторий в приведенных случаях показано на рис. 4.
Случаи 1')-5') получаются из случаев 1)-5) изменением направления оси t, так что на рис. 4 надо лишь заменить все стрелки на противоположные.

Устойчивость по Ляпунову в рассмотренных случаях следующая. Все случаи
1')-5'), а также 2), 5), 8) и 9) неустойчивы. Случаи 1), 3) и 4) устойчивы асимптотически. Случай 6) устойчив.

[pic]
Рис. 3. Собственные числа матрицы А. Закрашенным кружком отмечены [pic],

светлым — начало координат.

[pic]

Рис. 4. Фазовые кривые в трехмерном пространстве.

2.5. Автономные системы на плоскости. Предельные циклы.

Рассмотрим автономную двумерную систему

[pic], (5) где [pic] — область.

Предположим, что система (5) имеет замкнутую траекторию [pic] с наименьшим периодом [pic]. Возьмем произвольную точку [pic] и проведем через нее нормаль [pic] к [pic] единичной длины. Для определенности считаем, что [pic] направлен во внешнюю область. Не нарушая общности, считаем также, что [pic] — начало координат (этого можно добиться заменой
[pic]). Точки на нормали [pic] определяются единственной координатой [pic].
В качестве [pic] берем расстояние от точки нормали до начала координат, если точка лежит снаружи [pic], и это расстояние, взятое с обратным знаком, если она лежит внутри [pic].

Рассмотрим траектории [pic], проходящие через точки нормали. Запишем уравнение

[pic] (6) с неизвестными t, s (? — параметр).

Лемма 3. Существует [pic] такое, что в области [pic] уравнение (6) имеет единственное решение [pic], удовлетворяющее условиям [pic], причем функции [pic] непрерывно дифференцируемы при [pic].

Доказательство. Так как [pic] — решение с периодом ?, то по теореме о дифференцируемости решения функция [pic] определена и непрерывно дифференцируема по t и ? в некоторой окрестности точки [pic]. Тогда функция
[pic] определена и непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки
[pic]. Так как [pic] ?-периодична, то [pic]. Рассмотрим якобиан [pic] в точке [pic]. Имеем [pic]. Следовательно, в точке [pic] [pic], поскольку
[pic] и [pic] — ортогональные векторы. Тогда утверждение леммы вытекает из теоремы о неявной функции.

Следствие. Справедлива формула

[pic].

Выясним геометрический смысл функций [pic]. Лемма 3 утверждает, что каждая траектория, пересекающая нормаль [pic] в точке [pic] из ?- окрестности начала координат, вновь пересечет ее через промежуток времени
[pic] в точке [pic]. При этом так как функция [pic] также делает полный оборот вдоль [pic] при [pic], то траектория [pic] также делает полный оборот при [pic], оставаясь в малой окрестности [pic], если ? достаточно мало.

[pic]

Функция [pic] называется функцией последования.

Определение. Замкнутая траектория [pic] автономного уравнения (5) называется устойчивым предельным циклом, если существует такое [pic], что
[pic] является ?-предельным множеством для любой траектории, проходящей через точку из ?-окрестности кривой [pic].

Определение. Замкнутая траектория [pic] автономного уравнения (5) называется неустойчивым предельным циклом, если существует такое [pic], что
[pic] является ?-предельным множеством для любой траектории, проходящей через точку из ?-окрестности кривой [pic].

Так как в реальной действительности время течет в положительном направлении, то на практике реализуются те периодические движения, которым соответствуют устойчивые предельные циклы. Такие движения называются автоколебаниями.

Теорема 4. Пусть [pic]. (7)
Если [pic], то [pic] является устойчивым предельным циклом; если [pic], то
[pic] — неустойчивый предельный цикл.

Характер приближения соседних траекторий к [pic] при [pic] следующий: они приближаются к [pic], образуя бесконечное число витков спирали, как изнутри, так и снаружи.

[pic]

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: конспект занятия, реферати українською.





Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 | Следующая страница реферата