Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 | Следующая страница реферата

Лемма 2. Пусть все собственные числа матрицы A имеют отрицательные вещественные части, [pic] — определенно-отрицательная квадратичная форма.
Тогда уравнение (8) имеет единственное решение [pic], являющееся определенно-положительной квадратичной формой.

Лемма 3. Пусть матрица A имеет собственные числа с положительными вещественными частями. Тогда можно подобрать [pic] такое, что существует единственное решение [pic] уравнения

[pic], причем если [pic] — определенно-положительная квадратичная форма, то область [pic] для квадратичной формы [pic] непуста.

Докажем теперь теоремы 5 и 6 пункта 2.6. Рассмотрим уравнение (1), у которого

[pic] (11) где [pic] удовлетворяет условию

[pic] (12) равномерно по [pic].

Теорема 5 (см. теорему 5 п. 2.6). Если все собственные числа матрицы A имеют отрицательные вещественные части и [pic] удовлетворяет условию (12), то решение [pic] уравнения (1) асимптотически устойчиво.

Доказательство. Построим функцию Ляпунова, удовлетворяющую условию теоремы 2 для линейного уравнения (10), и покажем, что она удовлетворяет условиям теоремы 2 и для уравнения (1).

Пусть [pic] — квадратичная форма, удовлетворяющая уравнению

[pic].
По лемме 2 [pic] определенно-положительная. Определим ее производную DV в силу уравнения (1). Из (2) и (11) имеем: [pic]. Отсюда получаем:

[pic]. (13)
Из (12) следует, что для любого [pic] можно указать [pic] такое, что при
[pic] [pic] выполняется [pic]. Так как [pic] — квадратичная форма, то
[pic], [pic], и [pic]. Очевидно также, что [pic]. Из (13) и записанных неравенств следует, что [pic]. Следовательно, DV — определенно- отрицательная функция при [pic] [pic], если a выбрать по [pic]. Итак, выполнены все условия теоремы 2, откуда следует, что решение [pic] уравнения (1) асимптотически устойчиво. Теорема 5 доказана.

Теорема 6. (см. теорему 6 п. 2.6). Если среди собственных чисел матрицы имеются такие, вещественные части которых положительны, и выполнено условие
(12), то решение [pic] уравнения (1) неустойчиво.

Доказательство. С помощью леммы 3 построим квадратичную форму [pic], удовлетворяющую уравнению [pic], и такую, что область [pic] для функции V непуста. Составим DV в силу уравнения (1). Имеем

[pic].
Используя (12), как и при доказательстве теоремы 5, покажем, что если a достаточно мало, то при [pic] [pic] функция [pic]. Следовательно, так как в области [pic] [pic], то при [pic], [pic] имеем [pic]. Таким образом, выполнены все условия теоремы 4, откуда и следует, что нулевое решение уравнения (1) неустойчиво. Теорема доказана.

Заключение.

Список литературы.

1. Метод функций Ляпунова в анализе динамики систем. Сб. статей.

Новосибирск: Наука, 1987.

2. М. Розо. Нелинейные колебания и теория устойчивости. М.: Наука, 1971.

3. Б. П. Демидович. Лекции по математический теории устойчивости. М.:

Наука, 1967.

4. И. Г. Петровский. Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям.

М.: Наука, 1964.

5. Ю. Н. Бибиков. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М.:

Высшая школа, 1991.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: конспект занятия, реферати українською.





Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 | Следующая страница реферата