Предыдущая страница реферата | 18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28 | Следующая страница реферата



[pic]

Полезно знать следующие часто употребляемые термины.

Определение 46. Говорят, что величины ? и ? отрицательно коррелированы, если ?(?, ?) < 0; говорят, что величины ? и ? положительно коррелированы, если ?(?, ?) > 0.

Смысл знака коэффициента корреляции особенно ясен в случае (?(?, ?) (=
1. Тогда знак ? равен знаку a в равенстве ? = a?+ b п.н. То есть ?(?, ?) =
1 означает, что чем больше ?, тем больше и ?. Напротив, ?(?, ?) = -1 означает, что чем больше ?, тем меньше ?. Похожим образом можно трактовать знак коэффициента корреляции и в случае, когда (?(?, ?) (< 1, помня при этом, что зависимость величин ? и ? теперь уже не линейная и, возможно, даже не функциональная.

Так, величины ? и ? + ? в примерах 41 и 42 положительно коррелированы, но их зависимость не функциональная.

Пример 43.

Если с. в. ? и ? есть координаты точки, брошенной наудачу в треугольник с вершинами (2,0), (0,0) и (0,1), то коэффициент корреляции ?(?, ?) отрицателен. Это можно объяснить «на пальцах» так: Чем больше ?, тем меньше у ? возможностей быть большой) Предлагаю убедиться в этом, проверив справедливость следующих высказываний.

Во-первых,

[pic]

Во-вторых,

Совместное распределение координат точки, брошенной наудачу в произвольную (измеримую) область D на плоскости имеет постоянную плотность во всех точках области D. Это связано с понятием «наудачу»: вероятность попасть в любую область A( D, с одной стороны зависит только от площади А и не зависит от формы и положения А внутри D, равняясь с другой стороны, интегралу по области А от плотности совместного распределения координат точки. Эти два качества возможно совместить, только если плотность совместного распределения постоянна внутри D. Более того, эта постоянная, как легко видеть, есть просто [pic] (хотя бы потому, что интеграл от нее по всей области D должен ровняться вероятности попасть в D, или единице).

Распределение точки, брошенной наудачу в область (все равно где), называют равномерным распределением.

Итак, плотность равномерного распределения в произвольной области на плоскости — постоянная, равная (1/ площадь области) для точек внутри области и нулю — вне. Поэтому (а также потому, что площадь этого треугольника равна 1)

[pic]

То есть ковариация (а с ней и коэффициент корреляции) отрицательна
(посчитать cov(?, ?)).

Пример 44.

Найти коэффициент корреляции между числом выпадений единицы и числом выпадений шестерки при n подбрасываниях симметричного кубика.

Решение. Обозначим для i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 через ?i случайную величину, равную числу выпадений грани с i очками при n подбрасываниях кубика. Посчитаем cov(?1, ?6).

Каждая из случайных величин ?i имеет биномиальное распределение с параметрами n и 1/6, поэтому

[pic].

Заметим, что сумма ?1 + … + ?n этих величин равна n. В силу симметрии кубика, все математические ожидания [pic]одинаковы, но, скорее всего, отличаются от

[pic]

Посчитаем

С одной стороны, это равно

с другой стороны,

Отсюда

Следовательно, искомый коэффициент корреляции равен

Интересно, что полученный коэффициент корреляции не зависит от n.

... Откуда, наконец, вытекает то удивительное, по-видимому, следствие, что, если бы наблюдения над всеми событиями продолжать всю вечность, причем вероятность, наконец, перешла бы в полную достоверность, то было бы замечено, что в мире все управляется точными отношениями и постоянным законом изменений, так что даже в вещах, в высшей степени случайных, мы принуждены были бы признать как бы некоторую необходимость и, скажу я, рок.

Я к о б Б е р н у л л и, Ars conjectandi

(1713)

Раздел 13. Куда и как сходятся последовательности случайных величин

13.1 Сходимость «почти наверное» и «по вероятности»

Напомню, что случайная величина есть (измеримая) функция из некоторого абстрактного множества ? в множество действительных чисел.
Последовательность случайных величин есть, тем самым, последовательность функций (определенных на одном и том же пространстве элементарных исходов
?). И если мы хотим говорить о сходимости последовательности случайных величин {?n }(n=1 , не будем забывать, что мы имеем дело не с последовательностью чисел, а с последовательностью функций. Существуют разные виды сходимости последовательности функций. Всякий раз давать определение какой-либо сходимости мы будем, опираясь на сходимость числовых последовательностей, как на уже известное основное понятие.

В частности, при каждом новом ? ( ? мы имеем новую числовую последовательность {?n (? )}(n=1 . Поэтому, во-первых, можно говорить о знакомой из математического анализа (почти) поточечной сходимости последовательностей функций: о сходимости «почти всюду», которую в теории вероятностей называют сходимостью «почти наверное».

Определение 46. Говорят, что последовательность с. в. {?n } сходится почти наверное к с. в. ? при n ( ( , и пишут: ?n ( ? п. н., если P{ ?: ?n
(? ) ( ? при n ( (} = 1.

Иначе говоря, если ?n (? ) ( ? при n ( ( для всех ? ( ?, кроме, возможно, ? ( A, где множество (событие) A имеет нулевую вероятность.

Заметим сразу: чтобы говорить о сходимости «почти наверное», требуется
(по крайней мере, по определению) знать, как устроены отображения ? ( ?n (?
). В задачах же теории вероятностей, как правило, известны не сами случайные величины, а лишь их распределения. Известно, то есть, какова вероятность тех элементарных исходов ?, для которых ?n (? ) принимает значения в заданном множестве. Можем ли мы, обладая только информацией о распределениях, говорить о какой-либо сходимости последовательности случайных величин {?n } к с. в. ??

Можно, например, потребовать, чтобы вероятность («доля») тех элементарных исходов ?, для которых ?n (? ) не попадает в «?-окрестность» числа ? (? ), уменьшалась до нуля с ростом n. Такая сходимость в функциональном анализе называется сходимостью «по мере», а в теории вероятностей — сходимостью «по вероятности».

Определение 47. Говорят, что последовательность с. в. { ?n } сходятся по вероятности к с. в. ? при n ( (, и пишут:

[pic]

если для любого ? > 0

[pic]

Пример 45. Рассмотрим последовательность с. в. ?1 , ?2, …, в которой все величины имеют разные распределения: с. в. ?n, n > 0, принимает значения и 0 и n7 с вероятностями [pic]. Докажем, что эта последовательность сходится по вероятности к случайной величине, равной нулю п. н. (к нулю, проще говоря).

Действительно, зафиксируем произвольное ? > 0. Для всех n начиная с некоторого n0 такого, что n07 > ? верно равенство (*) ниже

[pic]

Итак, случайные величины ?n с ростом n могут принимать все большие и большие значения, но со все меньшей и меньшей вероятностью.

Замечание 18. Сходимость по вероятности не обязательно сопровождается сходимостью математических ожиданий или моментов других порядков: из
[pic]не следует, что [pic]

Действительно, в примере 45 имеет место сходимость [pic], но неверно, что [pic]

Если вместо значения n7 взять, скажем, n (с той же вероятностью 1/ n), получим

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: скачати реферат на тему, бесплатные рефераты без регистрации скачать.

Предыдущая страница реферата | 18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28 | Следующая страница реферата