Предыдущая страница реферата | 18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28 | Следующая страница реферата



[pic]

ЗБЧ утверждает, что среднее арифметическое большого числа случайных слагаемых «стабилизируется» с ростом этого числа. Как бы сильно каждая с. в. не отклонялась от своего среднего значения, при суммировании эти отклонения «взаимно гасятся», так что среднее арифметическое приближается к постоянной величине.

В дальнейшем мы увидим, что требование конечности второго момента (или дисперсии) связано исключительно со способом доказательства, и что утверждение остается верным если требовать существования только первого момента.

Доказательство. Обозначим через [pic] сумму первых n с. в., а их среднее арифметическое через [pic]. Тогда

[pic]

Пусть ? > 0. Воспользуемся неравенством Чебышёва (следствие 13):

[pic] (13)

при [pic], поскольку [pic], по условию, конечна.

Следствие 15. Последовательность с. в. [pic] с конечными вторыми моментами удовлетворяет ЗБЧ, то есть

[pic]

при выполнении любого из следующих условий:

а) если [pic], то есть [pic] при [pic];

б) если [pic]независимы и [pic], то есть

[pic]

в) если [pic] независимы, одинаково распределены и имеют конечную дисперсию (ЗБЧ Чебышёва).

Теорема 29 (ЗБЧ в форме Хинчина).

Для любой последовательности независимых и одинаково распределенных случайных величин с конечным первым моментом [pic] имеет место сходимость:

[pic]

Более того, в условиях теоремы 29 имеет место сходимость «почти наверное». Получим в качестве следствия из ЗБЧ Чебышёва закон больших чисел
Я. Бернулли (1713). В отличие от доказанного через полтора столетия ЗБЧ
Чебышёва, описывающего предельное поведение среднего арифметического с. в. с произвольными распределениями, ЗБЧ Бернулли — утверждение только для схемы Бернулли.

Теорема 30 (ЗБЧ Бернулли).

Пусть А — событие, которое может произойти в любом из n независимых испытаний с одной и той же вероятностью P(А). Пусть vn(А) — число осуществлений события А в n испытаниях. Тогда

[pic]

При этом для любого ? > 0

[pic]

13.4 Примеры использования ЗБЧ и неравенства Чебышёва

Пример 46.

Монета подбрасывается 10 000 раз. Оценить вероятность того, что частота выпадения герба отличается от вероятности более чем на одну сотую.

Требуется оценить [pic], где [pic]—число выпадений герба, а [pic] — независимые с. в., имеющие распределение Бернулли с параметром 1/2, равные
«числу гербов, выпавших при i-м подбрасывании» (то есть единице, если выпал герб и нулю иначе, или индикатору того, что выпал герб). Поскольку [pic], искомая оценка сверху выглядит так:

[pic]

Иначе говоря, неравенство Чебышёва позволяет заключить, что, в среднем, не более чем в четверти случаев при 10 000 подбрасываниях монеты частота выпадения герба будет отличаться от 1/2 более чем на одну сотую. Мы увидим, насколько это грубая оценка, когда познакомимся с центральной предельной теоремой.

Пример 47.

Пусть [pic] — последовательность случайных величин, дисперсии которых ограничены одной и той же постоянной С, а ковариации любых с. в. [pic] и
[pic] ([pic]), не являющихся соседними в последовательности, равны нулю.
Удовлетворяет ли эта последовательность ЗБЧ?

Воспользуемся неравенством (13) и свойством 12:

[pic]

Но для i < j, по условию, [pic], если [pic]. Следовательно, в сумме
[pic] равны нулю все слагаемые кроме, может быть, [pic] (их ровно n -1 штука).

Оценим каждое из них, используя одно из свойств коэффициента корреляции

[pic](по условию задачи)

[pic][pic]

при [pic], т.е. последовательность [pic] удовлетворяет ЗБЧ.

... Из этой первой лекции по теории вероятностей я запомнил только полузнакомый термин «математическое ожидание». Незнакомец употреблял этот термин неоднократно, и каждый раз я представлял себе большое помещение, вроде зала ожидания, с кафельным полом, где сидят люди с портфелями и бюварами и, подбрасывая время от времени к потолку монетки и бутерброды, сосредоточенно чего-то ожидают. До сих пор я часто вижу это во сне. Но тут незнакомец оглушил меня звонким термином

«предельная теорема Муавра — Лапласа» и сказал, что все это к делу не относится.

Аркадий и Борис Стругацкие, Стажеры

Раздел 14. ЦПТ (центральная предельная теорема)

14.1 Как быстро [pic] сходится к [pic]?

Пусть, как в законе больших чисел в форме Чебышёва, [pic] — сумма n независимых и одинаково распределенных величин с конечной дисперсией.
Тогда, в силу ЗБЧ, [pic] с ростом n. Или, после приведения к общему знаменателю,

[pic]

Если при делении на n мы получили в пределе нуль (в смысле некоторой, все равно какой, сходимости), резонно задать себе вопрос: а не слишком ли на «много» мы поделили? Нельзя ли поделить на что-нибудь, растущее к бесконечности медленнее, чем n, чтобы получить в пределе не нуль (и не бесконечность, само собой)?

Можно поставить этот вопрос по-другому. Вот последовательность, стремящаяся (как-то) к нулю. Можно ли ее домножить на что-либо растущее, чтобы «погасить» это стремление к нулю? Получив, тем самым, что-нибудь конечное и отличное от нуля в пределе?

Оказывается, что уже [pic], или, что, то же самое, [pic], не сходится к нулю. Распределение этой, зависящей от n, случайной величины становится все более похоже на нормальное распределение! Можно считать, что такая последовательность сходится к случайной величине, имеющей нормальное распределение, но сходится не по вероятности, а только в смысле сходимости распределений, или «слабой сходимости».

14.2 Слабая сходимость

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: скачати реферат на тему, бесплатные рефераты без регистрации скачать.

Предыдущая страница реферата | 18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28 | Следующая страница реферата