Предыдущая страница реферата | 18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28 | Следующая страница реферата



Пусть задана последовательность с. в.[pic], задано некоторое распределение [pic]с функцией распределения [pic] и [pic]— произвольная с. в., имеющая распределение [pic].

Определение 50. Говорят, что последовательность с. в. [pic] при
[pic]сходится слабо или по распределению к с. в. [pic], или говорят, что последовательность с. в. слабо сходится к распределению [pic], или говорят, что распределения с.в. [pic] слабо сходится к распределению [pic], и пишут:, [pic] или [pic], или [pic], если для любого х такого, что функция распределения [pic] непрерывна в точке х, имеет место сходимость [pic]при
[pic].

Иначе говоря, слабая сходимость — это поточечная сходимость функций распределения во всех точках непрерывности предельной функции распределения.

Свойство 15. Если [pic], и функция распределения [pic] непрерывна в точках a и b, то [pic] Наоборот, если во всех точках a и b непрерывности функции распределения [pic] имеет место, например, сходимость [pic], то
[pic].

Следующее важное свойство уточняет отношения между сходимостями.

Свойство 16.

1. Если [pic], то [pic].

2. Если [pic] = const, то [pic].

Доказательство.Докажем, что слабая сходимость к постоянной влечет сходимость по вероятности.

Пусть

[pic]

при любом x, являющемся точкой непрерывности предельной функции [pic], то есть при всех [pic].

Возьмем произвольное [pic] и докажем, что[pic]. Раскроем модуль:

[pic]

(сужаем событие под знаком вероятности)

[pic]поскольку в точках [pic] функция [pic] непрерывна, и, следовательно, имеет место сходимость последовательности [pic]к[pic]

Осталось заметить, что [pic] не бывает больше 1, так что по лемме о двух милиционерах [pic].

Следующее свойство приводит пример операций, которые можно применять к слабо сходящимся последовательностям — скажем, домножать их на последовательности, сходящиеся по вероятности к постоянным величинам.

Свойство 17.

1. Если [pic] const и [pic], то [pic].

2. Если [pic] const и [pic], то [pic].

Несколько содержательных примеров слабой сходимости мы рассмотрим в следующей главе. Но основной источник слабо сходящихся последовательностей и необычайно мощное и универсальное средство для асимптотического анализа распределения сумм независимых и одинаково распределенных случайных величин предоставляет нам ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА

14.3 Центральная предельная теорема

Мы будем называть следующее утверждение «ЦПТ А. М. Ляпунова» (1901), но сформулируем теорему Ляпунова только в частном случае — для последовательности независимых и одинаково распределенных случайных величин.

Теорема 31 (ЦПТ).

Пусть [pic] — независимые и одинаково распределенные случайные величины с конечной и ненулевой дисперсией: [pic]. Обозначим через [pic]сумму первых n случайных величин. Тогда последовательность с. в. [pic] слабо сходится к стандартному нормальному распределению.

Пользуясь определением и свойствами слабой сходимости, и заметив, что функция распределения [pic]любого нормального закона непрерывна всюду на R, утверждение ЦПТ можно сформулировать любым из следующих способов:

Следствие 18. Пусть [pic] — независимые и одинаково распределенные случайные величины с конечной и ненулевой дисперсией. Следующие утверждения эквивалентны друг другу и равносильны утверждению ЦПТ.

Для любых вещественных x < y при [pic] имеет место сходимость

[pic]

Для любых вещественных x < y при [pic] имеет место сходимость

[pic]

Для любых вещественных x < y при [pic] имеет место сходимость

[pic]

Если [pic] — произвольная с. в. со стандартным нормальным распределением, то

[pic]

Замечание 19. Еще раз напомним, что функция распределения стандартного нормального закона ищется либо по соответствующей таблице в справочнике, либо с помощью какого-либо программного обеспечения, но никак не путем нахождения первообразной.

14.4 Предельная теорема Муавра — Лапласа

Получим в качестве следствия из ЦПТ предельную теорему Муавра — Лапласа
(P. S. Laplace, 1812; A. de Moivre, 1730). Подобно ЗБЧ Бернулли, предельная теорема Муавра – Лапласа — утверждение только схемы Бернулли.

Теорема 32 (Предельная теорема Муавра — Лапласа).

Пусть А — событие, которое может произойти в любом из n независимых испытаний с одной и той же вероятностью p = P(A). Пусть [pic] — число осуществлений события А в n испытаниях. Тогда [pic]. Иначе говоря, для любых вещественных x < y при [pic] имеет место сходимость

[pic]

14.5 Примеры использования ЦПТ

Пример 48.

Монета подбрасывается 10 000 раз. Оценить вероятность того, что частота выпадения герба отличается от вероятности более чем на одну сотую.

Требуется найти

[pic], где [pic]—число выпадений герба, а [pic] — независимые с. в., имеющие одно и то же распределение Бернулли с параметром 1/2. Домножим обе части неравенства под знаком вероятности на [pic] и поделим на корень из дисперсии [pic]одного слагаемого.

[pic]

[pic]

Согласно ЦПТ или предельной теореме Муавра — Лапласа, последовательность

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: скачати реферат на тему, бесплатные рефераты без регистрации скачать.

Предыдущая страница реферата | 18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28 | Следующая страница реферата