Предыдущая страница реферата | 18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28 | Следующая страница реферата



[pic]

А если ?n принимает значения 0 и [pic] с теми же вероятностями, что и в примере 45, то [pic], но уже вторые моменты сходиться ко второму моменту ? не будут:

[pic]

Сходимость по вероятности обладает обычными для сходимостей свойствами.
Например, такими.

Свойство 13. Если [pic], то

1. [pic];

2. [pic].

Свойство 14.

Если [pic], и g – непрерывная функция, то [pic]

Если [pic], и g – непрерывна в точке с, то [pic]

Чтобы доказывать сходимость по вероятности, можно просто уметь вычислять [pic] при больших n. Но для этого нужно знать распределение ?n, что не всегда возможно. Скажем, ?n может быть суммой нескольких других с. в., распределения которых не устойчивы по суммированию, и вычислить распределение их суммы по формуле свертки или как-то еще бывает слишком сложно.

Если бы мы имели неравенства, позволяющие оценить [pic] сверху чем- либо, что мы умеем устремлять к нулю и что проще вычисляется, то сходимость по вероятности мы получили бы по лемме о двух милиционерах: [pic]. Итак, неравенства П. Л. Чебышёва.

13.2 Неравенства Чебышёва

Все неравенства в этом параграфе принято относить к одному классу, называемому «неравенствами Чебышёва». Следующее неравенство часто называют собственно неравенством Чебышёва, хотя в такой форме оно появилось впервые, видимо, в работах А. А. Маркова (например, Исчисление вероятностей, 1913 г.).

Теорема 27 (Неравенство Маркова).

Если [pic], то для любого положительного x

[pic]

Доказательство. Введем новую случайную величину ?x, называемую
«срезкой» с. в. (?( на уровне x:

[pic]

Для неё и,

1.[pic]

2. [pic]

Нам потребуется следующее понятие.

Определение 48. Пусть A — некоторое событие. Назовем индикатором события A случайную величину I(A), равную единице, если событие A произошло, и нулю, если A не произошло.

По определению, I(A) имеет распределение Бернулли с параметром p =
P(I(A) = 1) = P(A), и ее математическое ожидание равно вероятности успеха p
= P(A).

Случайную величину ?х можно представить в виде

[pic]

Тогда

[pic] (11)

Вспомним, что [pic], и оценим [pic]снизу согласно (11):

[pic]

Итак, [pic], что и требовалось доказать.

Следующее неравенство мы будем называть «обобщенным неравенством
Чебышёва».

Следствие 12. Пусть функция g монотонно возрастает и неотрицательна на
[0,(]. Если [pic], то для любого положительного х

[pic]

В 1853 г. И. Бьенеме (I. Bienayme) и в 1866 г., независимо от него, П.
Л. Чебышёв прямыми методами доказали следующее неравенство

Следствие 13 (Неравенство Чебышёва-Бьенеме). Если [pic], то

[pic]

В качестве следствия получим так называемое «правило трех сигм», которое формулируют, например, так: вероятность случайной величине отличаться от своего математического ожидания более, чем на три корня из дисперсии, мала. Разумеется, для каждого распределения величина этой вероятности своя: для нормального распределения, например, эта вероятность равна 0,0027 — см. свойство 9. Мы получим верную для всех распределений с конечной дисперсией оценку сверху для «вероятности с. в. отличаться от своего математического ожидания более, чем на три корня из дисперсии».

Следствие 14. Если [pic], то [pic]

13.3 Законы больших чисел

Определение 49. Говорят, что последовательность с. в. [pic]с конечными первыми моментами удовлетворяет закону больших чисел (ЗБЧ), если

[pic] (12)

Законами больших чисел принято называть утверждения об условиях, при которых последовательность с. в. «удовлетворяет закону больших чисел».

Выясним сначала, что означает и когда выполнен ЗБЧ для независимых и одинаково распределенных с.в.

Заметим, что если с. в. одинакого распределены, то математические ожидания у них одинаковы (и равны, например,[pic]), поэтому (12) можно записать в виде

[pic]

Итак, законы больших чисел.

Теорема 28 (ЗБЧ в форме Чебышёва).

Для любой последовательности независимых и одинаково распределенных случайных величин с конечным вторым моментом [pic] имеет место сходимость:

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: скачати реферат на тему, бесплатные рефераты без регистрации скачать.

Предыдущая страница реферата | 18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28 | Следующая страница реферата