Линейное программирование.

Задача линейного оптимального планирования - один из важнейших математических инструментов, используемых в экономике. Рассмотрим предприятие, которое из m видов ресурсов производит n видов продукции.
Примем следующие обозначения: i - номер группы ресурса (i=1,2, ..., m); j - номер вида продукции (j=1,2, ..., n); aij - количество единиц i-го ресурса, расходуемое на производство одной единицы j-го вида продукции; bij - запасы i-ro ресурса ; xi — планируемое количество единиц j-й продукции; cj -прибыли от реализации одной единицы j-го вида продукции;
X=(x1, x2,…, xn) - искомый план производства, называется допустимым если имеющихся ресурсов достаточно. называется допустимым если имеющихся ресурсов достаточно.
Рассматриваемая задача состоит в нахождении допустимого плана, дающего максимальную прибыль из всех допустимых решения подобных задач, называемых задачами линейного программирования.
Предположим, что предприятие может выпускать четыре вид продукции, используя для этого три вида ресурсов. Известна технологически матрица А затрат любого ресурса на единицу каждой продукции, вектор В объемов ресурсов и вектор С удельной прибыли

48 30 29 10 удельные прибыли

нормы расхода 3 2 4 3 198

2 3 1 2 96

6 5 1 0 228 запасы ресурсов
Обозначим х1, х2, х3, х4 - число единиц 1-й, 2-й, 3-й, 4-й продукции, которые планируем произвести. При этом можно использовать только имеющиеся запасы ресурсов. Целью является получение максимальной прибыли. Получаем следующую математическую модель оптимального планирования:
L(x1,x2,x3,x4)=48xl+30x2+29x3+10x4 (max

3х1+2х2+4х3+3х4?198

2х1+3х2+1х3+2х4?96

6х1+5х2+1х3+0х4?228 xj?0, jєN4
Для решения полученной задачи в каждое неравенство добавим неотрицательную переменную. После этого неравенства превратятся в равенства, в силу этого добавляемые переменные называются базисными.
Получается задача ЛП на максимум, все переменные неотрицательны, все ограничения есть равенства и есть базисный набор переменных: х5 - в 1-м равенстве, х6 - во 2-м и х7 - в 3-м. Теперь можно запускать симплекс-метод.
L(x1,x2,x3,x4)=48xl+30x2+29x3+10x4 (max

3х1+2х2+4х3+3х4+x5 =198

2х1+3х2+х3+2х4 +x6 =96

6х1+5х2+х3 +x7=228 xj?0, jєN7

Таблица N 1
|C |B |H |48 |30 |29 |10 |0 |0 |0 |
| | | |x1 |x2 |x3 |x4 |x5 |x6 |x7 |
|0 |x5 |198 |3 |2 |4 |3 |1 |0 |0 |
|0 |x6 |96 |2 |3 |1 |2 |0 |1 |0 |
|0 |x7 |228 |6 |5 |1 |0 |0 |0 |1 |
| | |0 |-48 |-30 |-29 |-10 |0 |0 |0 |

Если все оценочные коэффициенты (серый цвет) неотрицательны, то получено оптимальное решение: базисные переменные равны свободным членам, остальные равны 0. Если же есть отрицательный оценочный коэффициент, то находят самый малый из них. Если в столбце коэффициентов над ним нет положительных, то задача не имеет решения. Задача оптимального планирования не может быть таковой, поэтому ищут минимальное отношение свободных членов столбца Н к положительным коэффициентам указанного xj. В пересечении строки и столбца получаем разрешающий элемент и затем строим новую таблицу.
Таблица N 2
|C |B |H |48 |30 |29 |10 |0 |0 |0 |
| | | |x1 |x2 |x3 |x4 |x5 |x6 |x7 |
|0 |х5 |84 |0 |-Ѕ |31/2 |3 |1 |0 |-3/6 |
|0 |x6 |20 |0 |11/3 |2/3 |2 |0 |1 |-2/6 |
|48 |х1 |38 |1 |5/6 |1/6 |0 |0 |0 |1/6 |
| | |1824 |0 |10 |-21 |-10 |0 |0 |-8 |

Таблица N 3

|C |B |H |48 |30 |29 |10 |0 |0 |0 |
| | | |x1 |x2 |x3 |x4 |x5 |x6 |x7 |
|29 |х3 |24 |0 |-1/7 |1 |6/7 |2/7 |0 |-1/7 |
|0 |x6 |4 |0 |13/7 |0 |13/7 |-4/21 |1 |-5/21 |
|48 |х1 |34 |1 |6/7 |0 |-1/7 |-1/21 |0 |4/21 |
| | |2328 |0 |7 |0 |8 |6 |0 |5 |

Оптимальное решение (производственная программа): Xоpt=(34; 0; 22; 0); максимум целевой функции равен 2328.
Значение переменной с номером i большим 4-х есть остаток (i-4)-ro ресурса. 'Гак как все оценочные коэффициенты неотрицательны, то получено оптимальное решение: базисные переменные равны свободным членам, остальные равны 0.

Следует обратить внимание на экономический смысл элементов последней строки последней симплексной таблицы. Например, коэффициент ?2=7 при переменной х2 показывает, что если произвести одну единицу продукции второго вида (она не входит в оптимальную производственную программу), то прибыль уменьшится на 7 единиц.
Заметим, что в рассматриваемом примере линейной производственной задачи возможна самопроверка результата.
Воспользуемся тем, что в оптимальной производственной программе х2=0, х4=0. Предположим, что вторую и четвертую продукции мы не намеревались выпускать с самого начала. Рассмотрим задачу с оставшимися двумя переменными, сохранив их нумерацию. Математическая модель задачи будет выглядеть следующим образом:

L(x1,x3)=48xl+29x3 (max

3х1+4х3?198

2х1+ х3 ? 96

6х1+ х3?228 x1?0, x3?0
Задачу линейного программирования с двумя переменными можно решить графически. Возьмем на плоскости систему координат: ось OX3 направим горизонтально и вправо, ось OХ1 -вертикально и вверх. Каждое ограничение задачи, раз оно линейное нестрогое неравенство, графически изображается полуплоскостью, граничная прямая которой соответствует уже не неравенству, а равенству. Допустимое множество задачи является пересечением всех этих полуплоскостей и есть выпуклый многоугольник. Вторая из двух основных теорем линейного программирования гласит: Если экстремум целевой функции достигается на допустимом множестве, то функция принимает его в какой-то вершине многоугольника-допустимого множества. Исходя из этой теоремы, найти искомый экстремум можно просто перебрав вершины многоугольника и определив ту, в которой значение функции экстремально. Чаще делают по-другому: строят линию уровня целевой функции и двигают ее параллельно в направлении экстремума, стараясь уловить последнюю точку пересечения линии с допустимым множеством.

Двойственная задача линейного программирования

Задача линейного оптимального планирования - исходная в своей паре симметричных двойственных задач. Вообще же другая задача в двойственной паре строится так:
1)меняется тип экстремума целевой функции (mах на min и наоборот);
2)коэффициенты целевой функции одной задачи становятся свободными членами другой задачи;
3)свободные члены одной задачи становятся коэффициентами целевой функции двойственной задачи;
4)тип неравенств меняется (? на ? и наоборот);
5) каждый столбец одной задачи порождает строку ограничений другой задачи и наоборот. В матрично-векторном виде обе задачи выглядят так: исходная задача двойственная задача
L=(c,x)(max Z=(b,y)(min
Ax?b, x?0 Ya?c, y?0,

L(x1,x2,x3,x4)=48xl+30x2+29x3+10x4 (max
Z(y1,y2,y3,y4)=198yl+96y2+228y3 ( min