Предыдущая страница реферата | 5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15 | Следующая страница реферата

[pic] и

[pic] равносильны.

Теорема 19. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одну и ту же функцию [pic], которая при всех значениях [pic]из области определения исходного неравенства принимает только положительные значения, и при этом оставить без изменения знак исходного неравенства, то получится неравенство, равносильное исходному.

Таким образом, если [pic], то неравенства

[pic](1) и

[pic](2)
(или [pic]) равносильны.
Доказательство: пусть [pic] произвольное решение неравенства (1). Тогда
[pic]- истинное числовое неравенство. Умножим обе его части на число
[pic](по условию это число существует, ибо функция [pic]имеет смысл при всех [pic]из области определения неравенства (1), причем [pic]). Н основании свойства 3 числовых неравенств заключаем. что числовое неравенство (2) тоже истинное при [pic].

Обратно, пусть [pic]- произвольное решение неравенства (2), значит
[pic] - истинное числовое неравенство. После деления обеих частей неравенства на число [pic](по условию) по свойству 12 числовых неравенств получим истинное числовое неравенство [pic].
Следствие. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одно и то же положительное число, сохраняя знак неравенства, то получится неравенство, равносильное данному.

Теорема 20. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одну и ту же функцию [pic], которая при всех значениях [pic]из области определения исходного неравенства принимает только отрицательные значения, и при этом изменить на противоположный знак неравенства, то получится неравенство. равносильное исходному.

Таким образом, если [pic], то неравенства

[pic](1) и

[pic](2)
(или [pic]) равносильны.
Доказательство: Пусть [pic]произвольное решение неравенства (1). Тогда
[pic]- истинное числовое неравенство. Умножим обе его части на число
[pic](по условию это число существует, ибо функция [pic]имеет решение при всех [pic]из области определения неравенства (1)). На основании свойства 4 числовых неравенств заключаем, что числовое неравенство [pic] тоже истинное.

Обратно, пусть [pic] - произвольное решение неравенства (2), значит
[pic]-истинное числовое неравенство. Умножив обе части этого неравенства на число [pic]по свойству 4 числовых неравенств получим истинное числовое неравенство [pic].

Итак, произвольное решение неравенства (1) является решением неравенства (2) и произвольное решение неравенства (2) является решением неравенства (1). Теорема доказана.
Следствие. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одно и тоже отрицательное число, изменив знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.

Теорема 21. Пусть дано неравенство [pic], причем [pic]и [pic]при всех
[pic]из области определения неравенства. Если обе части неравенства возвести в одну и ту же натуральную степень [pic]и при этом знак неравенства оставить без изменения, то получится неравенство

[pic], равносильное данному.
Доказательство: пусть [pic]- произвольное решение неравенства [pic]. Причем
[pic]и [pic](по условию). Тогда [pic]- истинное числовое неравенство. Но по свойству 17 числовых неравенств получаем, что числовое неравенство
[pic]тоже истинно. Что и требовалось доказать.
Замечание. При выполнении тождественных преобразований возможно изменение области определения выражения. Например, при приведении подобных членов, при сокращении дроби может произойти расширение области определения. При решении неравенства в результате тождественных преобразований может получиться неравносильное неравенство. Поэтому после выполнения тождественных преобразований, которые привели к расширению области определения неравенства, из найденных решений нужно отобрать те, которые принадлежат области определения исходного неравенства.

3. Корень [pic]- й степени. Иррациональные неравенства.

Определение. Корнем [pic]- й степени из действительного числа
[pic]называется действительное число [pic]такое, что [pic].

В частности, если [pic], [pic], то из [pic]получаем, что [pic]или
[pic]. Если [pic], [pic], то из [pic]получаем, что [pic]. Заметим, что если
[pic]- четное, а [pic], то по свойствам действительных чисел не существует действительных [pic]таких, что [pic]. Если [pic]- четное, а [pic], то существует ровно два действительных различных корня [pic]- й степени из
[pic]. Положительный корень обозначается через [pic]- арифметический корень
[pic]- й степени из [pic], отрицательный [pic]. Если [pic], то при любом
[pic]существует единственный корень [pic]- й степени из [pic]- число [pic].

Если, [pic]- нечетное, то для любого действительного числа
[pic]существует единственный корень [pic]- й степени из [pic]. Этот корень называется арифметическим корнем [pic]- й степени из числа и обозначается
[pic].

Итак:
1. [pic]- четное, [pic], [pic]- арифметический корень [pic]- й степени из неотрицательного числа [pic].
2. [pic]- нечетное, [pic]- любое действительное число, [pic]- арифметический корень [pic]- й степени из действительного числа [pic].

Значит, если показатель корня - число нечетное, то действия с такими корнями не вызывают затруднений ([pic] имеет тот же знак, что и [pic]),
Основной случай для исследования - когда [pic]- четное.

Пусть функция [pic]- иррациональная, т.е. задается с помощью иррационального алгебраического выражения и не может быть задана с помощью рационального алгебраического выражения. Иррациональным неравенством называется неравенство вида [pic]. Для того, чтобы найти множество решений иррационального неравенства, приходится, как правило, возводить обе части неравенства в натуральную степень. Несмотря на внешнюю схожесть процедуры решения иррационального уравнения и иррационального неравенства, между ними существует большое отличие. При решении иррациональных уравнений можно не заботиться о том, чтобы после возведения в степень получилось уравнение, эквивалентное исходному: алгебраическое уравнение имеет конечное число корней, из которых проверкой нетрудно отобрать решения исходного иррационального уравнения.

Множество решений неравенства представляет собой, как правило, бесконечное множество чисел, и поэтому непосредственная проверка решений путем подстановки этих чисел в исходное неравенство становится принципиально невозможной. Единственный способ, гарантирующий правильность ответа, заключается в том, что мы должны следить за тем, чтобы при каждом преобразовании неравенства у нас получалось неравенство, эквивалентное исходному.

Решая иррациональные неравенства следует помнить, что при возведении обеих его частей в нечетную степень всегда получается неравенство, эквивалентное исходному неравенству. Если же обе части неравенства возводить в четную степень, то будет получаться неравенство, эквивалентное исходному и имеющее тот же знак, лишь в случае, если обе части исходного неравенства неотрицательны.

4. Решение простейших иррациональных неравенств

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: отцы и дети сочинение, доклады о животны.





Предыдущая страница реферата | 5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15 | Следующая страница реферата