Предыдущая страница реферата | 4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14 | Следующая страница реферата

[pic] или

[pic]

где [pic], что и требовалось доказать.

Теорема 10. Если [pic]и [pic], то [pic]. Как легко показать, разность
[pic] положительна.

Теорема 11. (о перемножении неравенств)
Если [pic][pic], [pic]и [pic] и [pic] положительны, то [pic], т.е. обе части неравенства с положительными членами можно умножить на неравенство того же смысла, больший член которого положителен.

Имеем последовательно:

[pic]
Здесь каждое произведение, а следовательно, и сумма положительны, что и требовалось доказать.

Теорема 12. (о делении неравенств)
Если [pic], [pic], [pic], [pic], [pic] - положительны, то [pic] .
Действительно, здесь [pic], и, на основании теоремы о перемножении неравенств, имеем [pic] , что и требовалось доказать.

Теорема 13. Если [pic] - четное число, [pic], а [pic], то [pic], т.е. четная степень любого числа, отличного от нуля, положительна.

Теорема вытекает из положений, что [pic] и [pic].

Теорема 14. Если [pic]- нечетное число, [pic] и [pic], то [pic], т.е. отрицательное число в нечетной степени отрицательно.

Теорема вытекает из следующих соотношений: [pic]и [pic].

Теорема 15. Если [pic]- нечетное число, [pic]и [pic]- положительно, а
[pic]- отрицательно, то [pic]. Из предыдущего видно, что [pic], а [pic], откуда [pic].

Теорема 16. Если числа [pic]и [pic]положительны и [pic], то [pic], где
[pic]- целое положительное число.

Действительно, если предположить, что [pic] , то возведя обе части неравенства в степень [pic]. получим [pic], т.е. придем к противоречию.

Теорема 17. Если [pic], то [pic], где [pic] - произвольное положительное рациональное число.

В самом деле, из [pic]имеем [pic] и дальше [pic].

Мы рассмотрели числовые неравенства. Пусть теперь нам даны две функции [pic] и [pic]. Если поставить между ними один из знаков неравенства
((,(, [pic],[pic]), получим условное неравенство. В дальнейшем такие условные неравенства мы будем называть просто неравенства.

Областью определения или областью допустимых значений (ОДЗ) неравенства [pic] называется множество таких значений [pic], при которых и функция [pic], и функция [pic]определены. Иными словами, ОДЗ неравенства
[pic]- это пересечение ОДЗ функции [pic]и ОДЗ функции [pic].

Частным решением неравенства [pic]называется всякое удовлетворяющее ему значение переменной [pic]. Решением неравенства называется множество всех его частных решений.

Два неравенства с одной переменной называются равносильными, если их решения совпадают (в частности, если оба неравенства не имеют решений).
Если каждое частное решение неравенства [pic] является в то же время частным решением неравенства [pic], полученного после преобразований неравенства [pic], то неравенство [pic]называется следствием неравенства
[pic]. В следующих теоремах речь идет о преобразованиях, приводящих к равносильным неравенствам.

Теорема 18. Если к обеим частям неравенства прибавить одну и туже функцию [pic], которая определена при всех значениях [pic]из области определения исходного неравенства, и при этом оставить без изменения знак неравенства, то получится неравенство, равносильное исходному. Таким образом, неравенства

[pic](1) и

[pic](2) равносильны.
Доказательство: Пусть [pic]=[pic]- произвольное решение неравенства [pic].
Тогда [pic]- истинное числовое неравенство. Прибавим к обеим его частям число [pic] (по условию это число существует, ибо неравенства (1) и (2) имеют одну и ту же область определения. На основании свойства 6 числовых неравенств заключаем, что числовое неравенство [pic]- истинное.
Следовательно, произвольное решение неравенства (1) является решением неравенства (2).

Обратно, пусть [pic]- произвольное решение неравенства (2), значит
[pic] - истинное числовое неравенство. После вычитания из обеих частей этого неравенства числа [pic]по свойству 6 числовых неравенств получим истинное числовое неравенство [pic]. Итак, произвольное решение неравенства
(1) является решением неравенства (2) и произвольное решение неравенства
(2) является решением неравенства (1). Теорема доказана.
Следствие. Неравенства

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: отцы и дети сочинение, доклады о животны.





Предыдущая страница реферата | 4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14 | Следующая страница реферата