Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами
| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: реферати українською, возрождение реферат
| Добавил(а) на сайт: Pogrebnjak.
Предыдущая страница реферата | 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 | Следующая страница реферата
При помощи (6.11), (6.12) и (6.13) находим окончательно:
и лемма доказана.
Теорема 8. Для любого натурального k и любого
(6.14)
Доказательство. Имеем
Отсюда, по лемме 10,
Воспользуемся теперь леммой 9. Получаем:
Если , то . Кроме того,
Поэтому для
и теорема доказана.
Мы обращаемся теперь к рассмотрению вопроса о том, при каких ограничениях на {En} условие (6.4) влечёт
Теорема 9. Зададим натуральное число k; пусть и . Для того чтобы , необходимо и достаточно выполнение условия
(6.15)
Доказательство. Необходимость условия (6.15) вытекает из теоремы 1. Докажем его достаточность. Согласно теореме 8, для
Положим здесь и заметим, что тогда для и, в силу условия ,
Поэтому для
и теорема доказана.
Следствие 9.1. Пусть и . Тогда для всех натуральных классы эквивалентны.
Следствие 9.2. Пусть и . Если
то для любого фиксированного натурального
равномерно относительно n.
Рассмотрим теперь следующий вопрос. как связаны приближения функции f с приближениями и дифференциальными свойствами её производных f (r)?
Теорема 10. Зададим натуральное число r, и пусть
(6.16)
где
(6.17)
Тогда f имеет непрерывную производную f(r) и
(6.18)
С.Н.Бернштейн [3] доказал такую теорему: если ряд сходится, то функция f имеет непрерывную производную f (r). Рассмотрение этого доказательства С.Н.Бернштейна показывает, что на самом деле им установлено следующее, более общее предложение: пусть выполнены условия (6.16) и (6.17). Тогда функция f имеет непрерывную производную f(r) и равномерно относительно x. В ходе доказательства теоремы 10 мы вновь установим это предложение.
Доказательство. при . Поэтому равномерно относительно x. Отсюда следует, что если {nk} (k=0,1,2,...) есть возрастающая последовательность номеров, то
Зафиксируем натуральное число n и положим
Тогда будем иметь
(6.19)
где
Докажем, что формулу (6.19) можно продифференцировать почленно r раз, т.е.
(6.20)
Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: аристотель реферат, международный реферат.
Категории:
Предыдущая страница реферата | 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 | Следующая страница реферата