Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата

1) fÎC[a,b];  2) "xÎ(a,b) существует f/(x);  3) f(a)=f(b). Тогда $CÎ(a,b): f/(C)=0.

Геометрический смысл теоремы Ролля: при выполнении условий 1)-3) теоремы на интервале (a,b) существует точка С, в которой касательная к графику функции параллельна оси абсцисс. На практике чаще используется следующее утверждение теоремы Ролля: между любыми двумя нулями дифференцируемой функции существует хотя бы один нуль у производной.

ТЕОРЕМА 2 (Лагранжа про среднее значение, или про конечное приращение). Допустим что функция f:[a,b]®R удовлетворяет условиям:

1) fÎC[a,b];  2) "xÎ(a,b) существует f/(x). Тогда $CÎ(a,b): f(b)-f(a)=f/(C)(b-a).

Отношение (f(b)-f(a))/(b-a) есть тангенс угла наклона к оси абсцисс секущей, которая проходит через точки (a, f(a)), (b, f(b)). Геометрический смысл теоремы Лагранжа: при выполнении условий 1)-2) теоремы на интервале (a,b) существует точка С, в которой касательная к графику функции в точке (C, f(C)) параллельна секущей.

Следствие 1. Пусть функція f:[a,b]®R имеет производную f/ на (a,b) і "xÎ(a,b) f/(x)=0. Тогда для некоторого LÌ R "xÎ(a,b) f(x)=L.

Следствие 2. Функции f:[a,b]®R, g:[a,b]®R имеют произодныеі f/ и g/ на (a,b) и "xÎ(a,b) f/(x)=g/(x). Тогда для некоторого числа LÌ R "xÎ(a,b): f(x)=g(x)+L.

Следствие 3. Пусть функция f:[a,b]®R имеем производную f/ на (a,b) и для некоторого LÌ R "xÎ(a,b) f/(x)=L. Тогда для некоторого MÌ R "xÎ(a,b): f(x)=Lx+M.

ТЕОРЕМА 3 (Коши). Пусть функции f:[a,b]®R, g:[a,b]®R удовлетворяют условиям: 1) f, gÎC[a,b]; 2) "xÎ(a,b) существуют производныеі f/ и g/ ; 3) "xÎ(a,b) g/(x)¹0.

Тогдаі $CÎ(a,b): (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f/(C)/g/(C).

Теорема Лагранжа – это частный случай теоремы Коши при g(x)=x, xÎ[a,b].

Задача 1.5. Доказать, что для любых x, y Ì R: ½sin x – sin y½£½x–y½;   x, y Ì R: ½cos x – cos y½£½x–y½;  x, y Ì R: ½arctg x – arctg y½£½x–y½;

x, y Ì [1; +¥): ½Öx – Öy½£ 0.5½x–y½.

Доказательство этих неравенств аналогичное. Поэтому рассмотрим доказательство первого неравенства. Пусть, например x<y. К фунции sin применим на отрезке [x,y] теорему Лагранжа:

$CÎ(x,y): ½sin x – sin y½=½cos C½(x–y). Учитывая неравенство ½cos u½£1, uÎR, получим требуемое неравенство.

Задача 1.6. Доказать, что для любого x Ì R: ex ³ 1+x, причем равенство может быть тогда и только тогда, когда x=0.

Пусть сначала x>0. По теореме Лагранжа для функции f(u)=eu, uÎ[0,x],

$CÎ(0,x): ex – e0 = eC(x-0)>x, так как eC>1 для C>0. Если x<0, то теорему Лагранжа используем для функции f(u)=eu, uÎ[x,0]. Имеем $CÎ(x,0): e0 – ex = eC(0-x)<–x, так как –x>0, а eC<1 для C<0. Таким образом, при x¹0 имеем ex > 1+x.

Задача 1.7. Доказать, что для любого x >0: ex>1+x+(x2/2).

Для доказательства неравенства применим теорему Коши к функциям

f(u)=eu,  g(u)=1+u+(u2/2),  uÎ[0,x]. Получим $CÎ(0,x): (ex – e0)/(1+x+(x2/2)–1) = eC/(1+c). Учитывая доказанное неравенство, найдем (ex-1)/(x+(x2/2))>1, откуда ex>1+x+(x2/2).

Задача 1.8. Доказать, что для 0<x<p/2 выполняется sin x > (2/p)x.

Пусть f(x)=(sin x)/x (0<x£p/2). Производная f/(x)=cos x (x–tg x)/x2 (0<x<p/2) будет отрицательной, так как x<tg x. Таким образом, функция f(x) убывает и f(x)>f(p/2)=2/p, если 0<x<p/2.

Задача 1.9. Доказать, что при x>0 выполняется cos x >1–(1/2)x2.

Функция f(x)=cos x –1+(1/2)x2 равна 0 при x=0. Ее производная, при x>0,

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: диплом управление, бесплатные тесты.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата