Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата

Задача 2.9. Доказать, что если 0<a<b , то выполняется .

Решение.

 представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями , т.е. . Касательная к кривой  в точке  отсекает от криволинейной трапеции прямоугольную трапецию, высота которой , а средняя линия . Площадь этой трапеции равна . Согласно неравенству (2.6), .

Убедимся, что указанная касательная отсекает именно трапецию, а не треугольник. Для этого достаточно проверить что точка ее пересечения с осью абсцисс лежит вне отрезка [a,b]. Уравнение касательной к кривой  в точке  имеет вид . В данном случае , т.е.  есть уравнение касательной. Положив в нем , найдем абсциссу точки пересечения касательной с осью : , ч т.д.

Из соотношений (2.9)-(2.12) можно получить новые неравенства. Неравенства (2.9) и (2.11) совместно дают оценку снизу и сверху для интеграла  от непрерывной, положительной и выпуклой функции. Аналогичные оценки получаем для интегралов от вогнутых функций из неравенств (2.10) и (2.12). Вернемся к задаче 2.9. Ее удалось решить, применив неравенство (3) к функции  на отрезке [a,b]. Кроме того, в силу неравенства (2.9)

, т.е. .

Объединяя этот результат с неравенством, доказанным в задаче 2.9, получим двойное неравенство

2.4. Некоторые классические неравенства и их применение

Приведем вывод некоторых замечательных неравенств с помощью интегрального исчисления. Эти неравенства широко используются в математике, в том числе и при решении элементарных задач.

Пусть y=f(x) – непрерывная возрастающая при x>0 функция. Кроме того, f(0)=0, f(a)=b, где a, b некоторые положительные действительные числа. Из школьного курса математики известно, что если функция f возрастает и непрерывна на некотором промежутке, то существует функция f-1, обратная функции f. Ее область определения совпадает с множеством значений f. функция f-1 непрерывна и возрастает в области своего определения.

Отсюда следует, что для данной функции f существует непрерывная возрастающая обратная функция f-1 такая, что f-1(0)=0, f-1(b)=a. Графики зависимостей y=f(x) и x=f-1(y) совпадают.

Площадь S1 криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=f(x), y=0, x=0, x=a, равна .

Площадь S2 криволинейной трапеции, ограниченной линиями x=f-1(y), x=0, y=0, y=b, равна

В последнем равенстве мы переобозначили переменную интегрирования, что, конечно, несущественно при вычислении интеграла. Поскольку площадь прямоугольника равна сумме площадей S1 и S2, то

Может оказаться, что f(a) не равно заданному числу b, т.е. f(a)>b или f(a)<b.

В каждом из этих случаев площадь прямоугольника меньше суммы площадей криволинейных трапеций, равной S1+S2.

Объединяя эти три случая, получаем следующий результат.

0, b>0 имеет место неравенство

                     (2.13)

Равенство имеет место тогда и только тогда, когда b=f(a). Это неравенство называют неравенством Юнга. Оно является источником получения других важных неравенств.

Пример 2.10. Функция f, где f(x)=x, удовлетворяет условиям, при которых справедливо соотношение (1). Далее.,f-1(x)=x. Поэтому

                      (2.14)

0, непрерывна, возрастает при x>0, f(0)=0. Обратной для нее является функция f-1, где f-1(x)=x1/a. Из неравенства (2.13) имеем

. Обозначив , получим

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: диплом управление, бесплатные тесты.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата