Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата

Заметим, что при  неравенство очевидно.

2.2. Монотонность интеграла

Из определения интеграла вытекает, что для неотрицательной непрерывной на отрезке [a,b] функции f  для всех .

Теорема 1. Пусть функции f и g непрерывны на отрезке [a,b] и для всех  . Тогда для всех : . Это свойство называют монотонностью интеграла.

С помощью теоремы 1 почленно проинтегрировав обе части неравенства, можно получить целую серию новых неравенств. Например,

при  имеем очевидное неравенство . Применим теорему 1, положив . Функции f, g удовлетворяют условиям теоремы на промежутке . Поэтому для произвольного : , т.е.  (1). Применяя тот же метод к неравенству (1), получаем , или . Отсюда . Продолжая аналогично, имеем ,

 и т.д.

В рассмотренном примере выбор исходного неравенства не составил труда. В иных случаях этот первый шаг решения задачи не столь очевиден. Теорема 1 дает, по существу, прием для получения исходного неравенства.

Пусть требуется проверить истинность неравенства

                                                   (2.4)

Если справедливо соотношение  , то согласно теореме 1, имеет место и неравенство

, или   (2.5).

Если имеет место неравенство , то, складывая его почленно с (2.4), устанавливаем справедливость неравенства (2.5).

Задача 2.4. Доказать, что при  .  (2.6)

Решение.

Неравенство (2.6) перепишем в виде . Левая и правая части последнего неравенства представляют собой функции от . Обозначив , получим   (2.7). Докажем, что (2.7) выполняется при . Найдем производные обеих частей неравенства (2.7). Соответственно имеем:

. При  . Действительно, . Применяя теорему 1 для функций  и  при , получаем . Так как , то

. Отсюда при ,  следует (2.6).

Задача 2.5. Доказать, что при :  .

Решение.

Вычислим производные левой и правой частей:  

Ясно, что , поскольку , . Так как  и  непрерывные функции, то, согласно теореме 1, имеет место неравенство

, т.е. , . Задача 2.5. решена.

Теорема 1 позволяет устанавливать истинность нестрогих неравенств. Утверждение, содержащееся в ней, можно усилить, если потребовать выполнения дополнительных условий.

Теорема 2. Пусть выполняются условия теоремы 1 и, кроме того, для некоторого  имеет место строгое неравенство . Тогда при  также имеет место строгое неравенство .

Задача 2.6. Доказать, что при :  (2.8).

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: диплом управление, бесплатные тесты.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата