
Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств
| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: реферат вещество, реферат туризм
| Добавил(а) на сайт: Короткин.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 | Следующая страница реферата
Решение.
Предварительно
следует проверить соответствующее неравенство для производных левой и правой
частей, т.е. что , или
. Его справедливость при
можно установить, если
применить теорему 1 к неравенству
. Поскольку, кроме того,
, то выполняются все условия теоремы 2. Поэтому имеет место
строгое неравенство
,
, или
,
. После преобразований придем к неравенству (2.8).
2.3. Интегралы от выпуклых функций
При решении многих задач целесообразно применять следующий подход.
Разделим
отрезок [a,b], на котором задана непрерывная функция f. на n частей точками . Построим прямоугольные трапеции, основаниями которых
являются отрезки xkyk, xk+1yk+1, а высотами – xkxk+1, k=0,1,…,n-1. Сумма
площадей этих трапеций при достаточно большом n близка к площади криволинейной
трапеции. Чтобы этот факт можно было применить к доказательству неравенств
функция f должна удовлетворять некоторым дополнительным требованиям.
Пусть функция f дважды дифференцируема на некотором промежутке и в каждой точке этого промежутка f//(x)>0. Это означает, что функция f/ возрастает, т.е. при движении вдоль кривой слева направо угол наклона касательной к графику возрастает. Иными словами, касательная поворачивается в направлении, обратном направлению вращения часовой стрелки. График при этом «изгибается вверх», «выпячиваясь вниз». Такая функция называется выпуклой. График выпуклой функции расположен «ниже» своих хорд и «выше» своих касательных. Аналогично, если f//(x)<0, то f/ убывает, касательная вращается по часовой стрелке и график лежит «выше» своих хорд, но «ниже» своих касательных. Такая функция называется вогнутой.
Функция
вогнута в области
своего определения, так как
. Вторая производная функции
положительна на всей
числовой прямой. Поэтому
– выпуклая функция.
Для функции
вторая производная
при
,
при
, т.е. функция
на интервале
вогнута, а на
выпукла.
Задача
2.7. Доказать, что
Решение.
Левая
часть этого неравенства равна площади прямоугольной трапеции, основания которой
равны значениям функции в точках
и
, т.е.
и
, а высота –
. Функция
выпуклая. Поэтому
площадь криволинейной трапеции, ограниченной ее графиком, прямыми
и отрезком [a,b] оси
x, меньше площади прямоугольной трапеции. Итак,
.
Подобный результат имеет место и в общем случае. Пусть функция f на отрезке [a.b] непрерывна, положительна и выпукла. Тогда
(2.9)
Если же непрерывная, положительная функция f вогнута, то
(2.10)
Задача
2.8. Доказать, что для выполняется
неравенство
Решение.
Функция
непрерывна, положительна, вогнута. Поэтому для нее выполняется неравенство (2), где
. Имеем
.
График
функции f, выпуклой на отрезке [a,b] лежит выше любой касательной к этому
графику, в частности касательной, проведенной через точку кривой с абсциссой .
Если
касательная пересекает ось абсцисс вне отрезка [a,b], то она отсекает от
криволинейной трапеции прямоугольную трапецию, а не треугольник. Площадь
прямоугольной трапеции равна произведению ее средней линии на высоту
. Поэтому
(2.11)
аналогично, если функция f вогнута, то
(2.12)
Соотношение
остается справедливым если касательная к графику пересекает ось абсцисс
в точках a и b.
Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: диплом управление, бесплатные тесты.
Категории:
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 | Следующая страница реферата