Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата

Если функция f положительна, непрерывна и убывающая на [a,b], то

          (2.3)

Покажем на ряде примеров, как соотношения (2.1)-(2.3) используются при доказательстве неравенств.

Задача 2.1. Доказать, что если , то .

Решение.

Выражение  совпадает с левой частью неравенства (2.1), где . Функция  на интервале  возрастает, непрерына, положительна. Поэтому, согласно (1), . Функция  является первообразной для функции , так как

. Поэтому . Левая часть двойного неравенства доказана. Правая часть получается из соотношения (2.2) для функции  при тех же предположениях.

При решении задачи 1 мы использовали тот факт, что площадь криволиней-ной трапеции, ограниченной графиком непрерывной, положительной, возрастаю-щей на [a,b] функции , отрезком [a,b] оси x и прямыми , заключена между площадями прямоугольников, построенных на [a,b] как на основании, с высотами  и  соответственно.

Площади прямоугольников дают, вообще говоря, довольно грубые приближения для площади криволинейной трапеции. Более точные оценки получаются путем разбиения отрезка [a,b] на достаточно большое число частей.

Задача 2.2. Пусть . Доказать, что для каждого  .

Решение.

Рассмотрим  и функцию . Она непрерывна, положительна и убывающая. Воспользуемся неравенством (2.3), где . (Точки  делят отрезок  на отрезки одинаковой длины ). Получим

Отсюда . Кроме того,

, т.е.

.

В приведенном решение выражение для  легко представлялось в виде площади некоторой ступенчатой фигуры. Чтобы воспользоваться рассмотренным в задаче методом доказательства неравенств, чаще приходится предварительно преобразо-вывать выражения, встречающиеся в неравенствах.

Задача 2.3. Доказать, что для каждого натурального n .

Решение.

Левую часть неравенства при  можно представить в следующем виде:

Рассмотрим функцию  на отрезке .Этот отрезок точками , разбивается на n равных частей длины 1. Выражение

 равно сумме площадей прямоугольников, построенных на отрезках  как на основаниях с высотами . Функция  при

 положительна, непрерывна, убывающая. Поэтому можно воспользоваться неравенством (2.3). Имеем  

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: диплом управление, бесплатные тесты.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата