Программа государственного экзамена по математике для студентов математического факультета

Московского городского педагогического университета

Алгебра и теория чисел

1. Группы; примеры и простейшие свойства элементов группы.

2. Кольца и поля; примеры и простейшие свойства элементов.

3. Арифметические функции: ((n), ((n), ((n).

4. Алгоритм Евклида и его применения.

5. Сравнения и их свойства. Теоремы Эйлера и Ферма.

6. Базис и размерность векторного пространства.

7. Основные теоремы о системах линейных уравнений.

8. Корни многочлена, теорема Безу, схема Горнера.

9. Разложение многочлена над полем в произведение неприводимых множителей и его единственность.

10. Теорема о строении простого алгебраического расширения.

1. Группы; примеры и простейшие свойства элементов группы

10. Определение группы.

Всюду в дальнейшем запись (G, () означает, что на непустом множестве G задана операция “(”.

Определение. Множество (G, () называется группой, если выполнены следующие условия:

(1) операция “(” ассоциативна, т.е. ((x, y, z(G) (x(y)(z = x((y(z);

(2) множество G обладает нейтральным элементом относительно операции (:

((e(G)((x(G) x(e = e(x = x;

(3) каждый элемент множества G обладает симметричным элементом:

((x(G) ((y(G) x(y = y(x = e.

20. Примеры групп: числовые группы, группы симметрий геометрических фигур, группы подстановок, матричные группы.

Примеры групп весьма разнообразны. Перечислим некоторые из них.

1. Числовые группы (группы, элементы которых являются комплексными числами). а) Аддитивные группы целых чисел Z, рациональных чисел Q, действительных чисел R, комплексных чисел C. б) Мультипликативные группы ненулевых рациональных чисел Q*, ненулевых действительных чисел R*, ненулевых комплексных чисел C*, положительных рациональных чисел Q+, положительных действительных чисел R+.