Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Теорема. В произвольной мультипликативной группе G однозначно разрешимо каждое из уравнений: ax = b, ya = b, где a, b - фиксированные элементы группы.

Доказательство. Допустим, что элемент g удовлетворяет равенству ag = b.
Тогда умножая обе части равенства слева на элемент обратный к g, получим a-1(ag) = a-1b, откуда находим g = a-1b. Легко проверить, что элемент a-1b является решением уравнения ax = b, т.е. справедливо равенство a(a-1b) = b.

Аналогично доказывается разрешимость второго уравнения. (

Примеры. 1. Решить уравнение (12)x = (13) в группе подстановок S3.

Имеем: x = (12)(13) = (123).

2. Решить уравнение (x = ( в группе симметрий правильного треугольника.

Имеем: x = ( -1( = (, поскольку (( является отражением и

C((() = (C()( = B( = C.

3. Решить уравнение X [pic]= [pic]в группе GL2(R).

Имеем:

X = [pic][pic]=[pic][pic]=[pic].

2. Кольца и поля; примеры и простейшие свойства элементов

10. Определение кольца и поля.

Определение. Непустое множество A, на котором заданы операции сложения и умножения, называется кольцом, если выполнены следующие два условия: а) (A, +) - абелева группа; б) умножение дистрибутивно относительно сложения, т.е. для любых элементов x, y, z из A выполнены равенства: (x + y)z = xz + yz; x(y + z) = xy + xz.

Определение. Кольцо называется коммутативным, если операция умножения в нем коммутативна; кольцо называется ассоциативным, если операция умножения в нем ассоциативна. Кольцо называется кольцом с единицей, если оно обладает нейтральным элементом относительно умножения.

Определение. Пусть A - ассоциативное кольцо с единицей 1. Элемент a(A называется обратимым, если существует элемент b(A такой, что ab = ba = 1.

Легко проверить, что элемент b, о котором идет речь находится однозначно, поэтому он обозначается a-1 и называется элементом обратным к a.

Важнейшим типом колец являются поля.

Определение. Ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей называется полем, если в нем всякий ненулевой элемент обратим.

20. Примеры колец: числовые кольца, кольца многочленов, кольца последовательностей и функций, кольца матриц, кольца вычетов.

Если группы появляются, прежде всего, как группы обратимых отображений, то возникновение понятия кольца связано с изучением важнейших числовых систем и многочленов.

1. Числовые кольца (кольца, элементы которых являются комплексными числами): а) (классические числовые кольца) кольцо целых чисел Z, кольцо рациональных чисел Q, кольцо действительных чисел R, кольцо комплексных чисел C. б) кольцо Z[i] целых гауссовых чисел вида a + bi, где a, b - целые числа; г) кольцо Z[[pic]] действительных чисел вида a + b[pic] с целыми a, b.

2. Кольца многочленов R[x], Q[x], Z[x], C[x] от одной переменной x с действительными, рациональными, целыми и комплексными коэффициентами.

3. Кольца последовательностей и функций. Среди этих колец выделим особо: а) кольцо последовательностей действительных чисел с обычными операциями сложения и умножения последовательностей; б) кольцо ограниченных последовательностей действительных чисел; в) кольцо фундаментальных последовательностей; г) кольцо непрерывных действительно-значных функций на отрезке [0 , 1].

4. Кольца матриц. Среди разнообразных матричных колец выделим следующие: а) полное матричное кольцо Mn(A) над кольцом A или кольцо квадратных матриц порядка n с элементами из кольца A, в качестве кольца коэффициентов
A можно рассматривать, в частности, любое числовое кольцо; б) кольцо Dn(A) диагональных матриц, т.е. матриц, у которых вне главной диагонали находятся только нулевые элементы; в) кольцо TNn(A) нильтреугольных матриц, т.е. треугольных матриц с нулями на главной диагонали.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: образец курсовой работы, как сделать шпаргалку.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата