Программа государственного экзамена по математике для студентов математического факультета Московского городского педагогического университета
| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: дипломы грамоты, реферат на тему общество
| Добавил(а) на сайт: Aleksandra.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 | Следующая страница реферата
Определение. Числовой (арифметической) функцией называется функция, определенная на множестве Z+ целых положительных чисел и принимающая комплексные значения.
Числовая функция ( называется вполне мультипликативной, если выполнены условия:
(1) ((x) ((x)(0,
(2) для любых взаимно простых чисел x и y
((xy)= ((x) ((y).
Заметим, что непосредственно из определения вытекает равенство
((1)=1.
В самом деле, ((1)(0, так как иначе данная функция ( была бы нулевой;
((1)= ((1(1)= ((1) ((1), следовательно, ((1)=1.
Легко проверить, что каждая из следующих функций
((x)=1, ((x)= x, ((x)= x-1, вполне мультипликативна.
Следующая теорема позволяет существенно расширить запас вполне мультипликативных функций.
Теорема. Произведение вполне мультипликативных функций является вполне мультипликативной функцией.
Доказательство. Пусть числа x и y взаимно просты, а функции f и g вполне мультипликативны. Тогда, обозначив через h произведение функций f и g, имеем: h(xy)=f(xy)g(xy)=f(x)f(y)g(x)g(y)=[f(x)g(x)][f(y)g(y)]=
=h(x)h(y).
Следствие. Для любого целого k функция ((x)= xk вполне мультипликативна.
20. Сумма значений функции по всем делителям аргумента.
Введем в рассмотрение, наряду с функцией ((x), функцию
[pic], равную сумме всех значений функции ((d) при условии, что переменная d пробегает все делители числа x.
Теорема (основное тождество). Если x=[pic], то
[pic]([pic].
В частности, если функция ( вполне мультипликативна, то и функция [pic] также вполне мультипликативна.
Доказательство. Рассмотрим произведение сумм, находящееся в правой части требуемого равенства:
[pic][pic]=
=[pic]=[pic].
Осталось заметить, что для каждого набора ((1, (2,..., (k ) целых
неотрицательных чисел (i, не превосходящих ai, в сумме
[pic] каждое слагаемое встречается ровно один раз. Учитывая теперь, что каждый делитель числа [pic]имеет вид [pic], получаем
Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: образец курсовой работы, как сделать шпаргалку.
Категории:
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 | Следующая страница реферата
Главная