Предыдущая страница реферата | 5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15 | Следующая страница реферата

4. Пространства многочленов Qn[x] с рациональными коэффициентами степени не превосходящей n имеет следующие базисы: а) стандартный базис вида 1, x, x2, . . . , xn; б) базис Тейлора “в точке c”:

1, (x - c), (x - c)2, . . . , (x - c)n , где c - некоторое число; в) [базис Лагранжа “в точке (c1, . . . , cn+1)”: gi(x) = {(x - c1) . . . (x - ci)^ . . . (x - cn+1)}/ {(ci - c1) . . . (ci - ci)^ . . . (ci - cn+1)}, где c1, . . . , cn+1 - попарно различные скаляры, а знак ^ означает отсутствие указанного множителя.]

Координаты многочлена f(x) относительно стандартного базиса - это его коэффициенты; относительно базиса Тейлора - это строка [pic];

[относительно базиса Лагранжа - это строка (f(c1), . . . , f(cn+1)).]

5. Вещественное линейное пространство C имеет стандартный базис (1, i).

7. Основные теоремы о системах линейных уравнений

10. Исследование системы линейных уравнений.

Пусть задана система линейных уравнений: Ax = b, где A- основная матрица, x- столбец переменных, b - столбец свободных членов. С помощью элементарных преобразований строк в основной матрице можно построить максимальную систему единичных столбцов. Кроме того, удалим из расширенной матрицы нулевые строки. Тогда можно считать, что расширенная матрица системы уравнений имеет вид:

[pic], где в последней строке ведущий элемент обозначен через (.

Для ненулевого числа ( возможны два случая:

(а) ( находится до черты, т.е. лежит в основной матрице.
Следовательно, в этом случае мы можем написать общее решение совместной системы. Заметим, что все переменные будут связаны ( ранг основной матрицы равен числу переменных системы.

(б) ( находится после черты; тогда система несовместна и ранг основной матрицы меньше ранга расширенной матрицы на единицу.

Тем самым, мы доказали теорему.

Теорема. Пусть ( - ведущий элемент последней строки приведенной ступенчатой матрицы. Тогда

(а) система совместна ( ( находится до черты;

(б) система несовместна ( ( находится после черты;

(в) система является определенной ( ( находится до черты и все переменные связанные;

(г) система является неопределенной ( ( находится до черты и имеется хотя бы одна свободная переменная.

20. Критерии совместности и определенности.

Из приведенной теоремы немедленно вытекают следующие два критерия.

Критерий совместности (теорема Кронеккера-Капелли). Система Ax = b линейных уравнений является совместной ( ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы, т.е. r(A) = r(A(b).

Критерий определенности. Система Ax = b линейных уравнений от n переменных является определенной ( ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен числу переменных в системе, т.е. r(A) = r(A(b)
= n.

30. Связь между решениями совместной неоднородной и связанной с ней однородной системами линейных уравнений.

Допустим, что дана совместная система линейных уравнений:
|Ax = b. |(1) |

Пусть (0, (1, (2 - частные решения системы (1), ( - ее общее решение.
Тогда справедливы равенства A(1t = b, A(2t = b. Вычитая почленно из первого второе, на основании известных свойств, получаем: 0 = A(1t - A(2t = A((1t -
(2t) = A((1 - (2)t, т.е. разность между двумя частными решения системы (1) является решением связанной с ней однородной системы
|Ax = 0. |(2) |

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: образец курсовой работы, как сделать шпаргалку.





Предыдущая страница реферата | 5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15 | Следующая страница реферата