Предыдущая страница реферата | 5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15 | Следующая страница реферата

Определение. Степень минимального многочлена числа ( называется степенью числа (; обозначение deg k (.

4. ( ( k ( deg k ( = 1.

Доказательство немедленно получается из определений.

5. Если ( - алгебраическое число степени n, то 1, (, (2, ..., (n-1 линейно независимы над полем k, т.е. ((c0, c1, ..., cn-1 (k) c0 + c1( + ...
+ cn-1(n-1 = 0 возможно только в случае c0 = c1 = . . . = cn-1 = 0.

Доказательство. Действительно, если указанные степени числа ( линейно зависимы, то это число является корнем некоторого многочлена над k, степени меньшей чем (.

6. Пусть ( - алгебраическое число, f(x) ( k[x] и f(() ( 0. Тогда дробь
[pic] представима в виде [pic]= g(() для некоторого g(x) ( k[x].

Доказательство. В самом деле, многочлены f и ( взаимно просты (иначе f делился бы на (), значит, по теореме о линейном представлении НОД: для некоторых многочленов g и h над k верно равнство fg + (h = 1.
Откуда f(() g(() = 1, что и требовалось.

30. Строение простых алгебраических расширений.

Определение. Пусть k - подполе в L; ( ( L. Наименьшее подполе в L, содержащее число ( и подполе k, обозначаемое k((), называется простым расширением поля k (говорят также, что k(() получено присоединением к полю k числа ().

Из приведенных свойств легко вывести теорему.

Теорема (о строении простого алгебраического расширения).

Для любого алгебраического числа ( над полем k линейное пространство k(() обладает базисом из элементов вида

1, (, (2, . . . , (n-1, где n = degk (.

Доказательство. Легко понять, что k(() состоит из дробей f(()/g((), где f(x), g(x) - многочлены над полем k и g(() ( 0. Обозначим через k[(] - кольцо значений многочленов в точке (, т.е. k[(] = { f(()(f(x)( k[x]}.

Из свойства 6 вытекает равенство k(() = k[(]. Из теоремы о делении с остатком следует, что значение произвольного многочлена над полем k в точке
( является линейной комбинацией над полем k указанных в теореме степеней элемента (. Наконец, из свойства 5 следует линейная независимочть над полем k этих степеней. (

40. Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби.

Разберем различные способы решения задачи об освобождении от иррациональности в знаменателе дроби. Принципиальная возможность ее решения вытекает из теоремы о строении простого алгебраического расширения.

Пример 1. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

[pic].

Решение. Обозначим через c число [pic], и воспользуемся известной формулой суммы членов геометрической прогрессии:

1+ c + c2+ c3+ c4 = (c5 - 1)/(c - 1) = 1/(c - 1), следовательно, [pic].

Пример 2. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

[pic].

Решение. Обозначим через c число [pic], и запишем сначала дробь

[pic] в виде суммы простейших:

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: образец курсовой работы, как сделать шпаргалку.





Предыдущая страница реферата | 5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15 | Следующая страница реферата