Предыдущая страница реферата | 5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15 | Следующая страница реферата

Тогда произвольный многочлен f представим в виде произведения c[pic], где ai ( 0, pi ( ((k), c(k.

Указанное разложение однозначно определяется многочленом f и называется его каноническим разложением; число ai называется показателем pi в каноническом разложении.

Канонические разложения удобны для доказательства различных свойств делимости и вычисления НОД и НОК. Приведем важнейшие из них.

10. f := c[pic] делит g := d[pic] ( a1 ( b1, a2 ( b2, . . . , an ( bn.

Доказательство. Пусть g = fh, a1 > b1, h := e[pic]. Тогда b1 = a1 + c1
> b1, что невозможно. Обратное утверждение очевидно. (

20. Пусть имеются канонические разложения многочленов f и g: f = c[pic], g = d[pic].

Тогда

НОД(f, g) = [pic], НОК(f, g) = [pic], где ci = min (ai, bi), di = max (ai, bi).

Доказательство. Пусть ( = [pic] , где ci = min (ai, bi). Тогда по свойству 10 многочлен ( является делителем многочленов f и g и всякий общий делитель f и g делит многочлен (. Следовательно, ( = НОД(f, g).

Аналогично доказывается и второе утверждение. (

Из свойства 20 немедленно вытекает свойство

30. (Связь между НОД и НОК).

НОД(f, g) ( НОК(f, g) = f ( g.

10. Теорема о строении простого алгебраического расширения

10. Понятие минимального многочлена.

Пусть ( - алгебраическое число над полем k, т.е. корень ненулевого многочлена с коэффициентами из поля k.

Определение. Нормированный многочлен (((, k, x) над полем k называется минимальным многочленом числа (, если выполнены условия: а) ((x) - неприводим над полем k, т.е. не разлагается в произведение многочленов положительной степени с коэффициентами из k; б) ((() = 0, т.е. ( - корень многочлена ((x).

Примеры.
|( |i |[pic] |[pic]- 1 |i + [pic] |
|(((, Q, x) |x2 + 1 |x2 - 5 |x2 + 2x - 1 |x4 - 4x2 + |
| | | | |16 |

20. Основные свойства минимальных многочленов.

1. Если f(x) ( k[x] и f(() = 0, то f(x) делится на минимальный многочлен ((х) числа (.

Доказательство. В самом деле, предположив, что f не делится на (, запишем f = (g + r, deg r < deg ( на основании теоремы о делении с остатком. Откуда r(()=0. Поскольку многочлены r и ( взаимно просты, то у них не может быть общих корней - противоречие.

2. Допустим, что ( - алгебраическое число, а g(x) - нормированный многочлен наименьшей положительной степени такой, что g(x) ( k[x] и g(() =
0. Тогда g(x) - минимальный многочлен числа (.

Доказательство немедленно вытекает из свойства 1.

3. Минимальный многочлен алгебраического числа ( над данным полем определен однозначно.

Для доказательства достаточно применить свойство 2.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: образец курсовой работы, как сделать шпаргалку.





Предыдущая страница реферата | 5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15 | Следующая страница реферата