Предыдущая страница реферата | 4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14 | Следующая страница реферата

Нам потребуются в дальнейшем следующие две леммы, которые мы приведем без доказательства.

Лемма 1. Если система E линейно независима, а система E(s (полученная присоединением вектора s к системе E) линейно зависима, то s линейно выражается через E.

Лемма 2 (основная лемма о линейной зависимости).

“Большая“ система линейно зависима, если она линейно выражается через
“маленькую“.

30. Базис линейного пространства.

Определение 1. Система E называется базисом линейного пространства V
(обозначение B(V)), если выполнены условия:

(а) E линейно независима;

(б) V = L(E), т.е. всякий вектор пространства V линейно выражается через E.

Наряду с данным определением можно привести и другие эквивалентные определения.

Определение 2. Максимальная линейно независимая система E называется базисом линейного пространства V.

Определение 3. Система E называется базисом линейного пространства V, если всякий вектор пространства V однозначно записывается в виде линейной комбинации векторов системы E.

Заметим, что указанные определения равносильны.

40. Размерность линейного пространства.

Определение. Линейное пространство называется конечномерным, если оно обладает конечным базисом.

Определение. Число элементов в каком-нибудь базисе линейного пространства V называется его размерностью; обозначение dimV. Нулевое пространство имеет по определению пустой базис и нулевую размерность.

Отметим прежде всего теорему о корректности определения размерности.

Теорема. Всякие два базиса одного конечномерного пространства содержат одинаковое число векторов.

Доказательство. Пусть E и G - два базиса пространства V. Эти системы векторов линейно эквивалентны, т.е. они линейно выражаются друг через друга. Если бы одна система была “большой”, а другая “маленькой”, то
“большая” система оказалась бы линейно зависимой в силу основной леммы о линейной зависимости, значит, обе они содержат одинаковое число векторов. (

Следствие.

(а) Размерность линейной оболочки L(E) равна рангу системы E (ранг системы - максимальное число ее линейно независимых векторов): dim L(E) = r(E).

(б) Всякая система векторов n-мерного линейного пространства, содержащая более n элементов линейно зависима.

50. Примеры.

1. Координатное пространство kn имеет стандартный базис из единичных векторов ei := (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) ( единица находится на месте с номером i), следовательно, dim kn = n. Можно доказать, что система из n векторов-строк образует базис пространства kn ( определитель этой системы отличен от нуля.

2. Базис пространства решений однородной системы линейных уравнений - это фундаментальная система решений.

3. Пространство матриц [pic] имеет стандартный базис из матричных единиц Eij (единица находится на месте с номером (i, j), следовательно, dim [pic] = nm.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: образец курсовой работы, как сделать шпаргалку.





Предыдущая страница реферата | 4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14 | Следующая страница реферата