Предыдущая страница реферата | 5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15 | Следующая страница реферата

(3. При этом 1 не является корнем многочлена f, поскольку сумма его коэффициентов, очевидно, не равна 0.

При x = -1: имеем схему
| |1 |-1 |-6 |-1 | 3 |
|-1 |1 |-2 |-4 |3 |0 |

Мы видим, что -1 - корень f , и в частном получается многочлен g = x3 - 2x2 - 4x +3.

Значение x = 1 второй раз проверять незачем: если бы число 1 было корнем g, то оно было бы и корнем f, что неверно. А -1 проверить обязательно - ничто не мешает ей быть также и корнем частного g:
| |1 |-2 |-4 |3 |
|-1 |1 |-3 |-1 |4 |

Следовательно, g(-1) ( 0.

Составим схему Горнера для x = 3:
| |1 |-2 |-4 |3 |
|3 |1 |1 |-1 |0 |

Следовательно, g(3) = 0, и при делении g на x - 3 получается многочлен x2- x - 1, корни которого (1([pic])/2.

Таким образом, многочлен f, а значит, и исходное уравнение имеет 4 корня: -1, 3 и (1([pic])/2.

30. Следствия из теоремы Безу. Теорема Безу позволяет частично ответить и на важный теоретический вопрос - Сколько корней может иметь многочлен?

Теорема. Многочлен степени n имеет в любом поле не более n корней.

Доказательство. Пусть многочлен f степени n имеет k корней, и c -один из его корней. Предположим противное - пусть k>n.

По теореме Безу, f = (x - c)g, и частное g имеет степень n - 1. Всякий корень f, отличный от c, является одновременно и корнем g: если f(a) = 0, то (a - c)g(a) = 0, откуда g(a) = 0, так как a( c. Другими словами, многочлен g имеет, по меньшей мере k - 1>n - 1 корень, т.е. число его корней также больше его степени.

Но с многочленом g можно провести те же рассуждения, и на втором шагу получить новый многочлен h, число корней которого также больше его степени. Продолжая таким же образом, мы придем к многочлену степени 2, имеющему больше 2 корней, чего не может быть.

Полученное противоречие показывает, что предположение k>n неверно, и следовательно, k не больше n, что и требовалось доказать.

Из теоремы о числе корней вытекают два исключительно важных и для теории, и для практики утверждения.

Следствие 1. Два многочлена степени, не большей n, принимают одинаковые значения при n + 1 значении x тогда и только тогда, когда при каждой степени x они имеют одинаковые коэффициенты.

Следствие 2. Два многочлена принимают одинаковые значения при всех значениях x тогда и только тогда, когда при каждой степени x они имеют одинаковые коэффициенты.

9. Разложение многочлена в произведение неприводимых множителей и его единственность

10. Основная теорема арифметики кольца k[x]. Любой многочлен положительной степени можно разложить в произведение неприводимых сомножителей, и такое представление единственно с точностью до ассоциированности и порядка сомножителей.

Доказательство. 1. Существование. Индукцией по n докажем, что каждый многочлен f степени n ( 1 можно разложить в произведение неприводимых сомножителей. Основанием индукции при n = 1 служит тривиальное разложение f
= f. Сделав индуктивное предположение, рассмотрим многочлен f степени n.
Если f - неприводим, то разложение имеет вид: f = f; если же f - приводим, то его можно записать в виде f = gh, где степени g, h меньше степени f. По предположению индукции многочлены g и h можно разложить на неприводимые сомножители: g = p1p2 . . . ps, h = q1q2 . . . qt, поэтому f = p1p2 . . . psq1q2 . . . qt.

2. Единственность. Предположим, что некоторый многочлен f имеет два разложения на неприводимые сомножители: f = p1p2 . . . ps , f = q1q2 . . . qt, тогда p1p2 . . . ps = q1q2 . . . qt.
Левая часть последнего равенства делится на p1, значит, правая часть также делится на p1. По основному свойству неприводимого многочлена на p1 делится либо q1, либо q2, . . . , либо qt. Изменяя, если надо нумерацию сомножителей, можно считать, что p1 делит q1, и поскольку q1 неприводим, то они ассоциированы, т.е. для некоторого числа c верно p1 = cq1. Значит, сокращая на p1 обе части равенства p1p2 . . . ps = p1q2 . . . qt, получаем: p2 . . . ps = (cq2 ) . . . qt.
Обозначим данное произведение через m, и заметим, что deg m < deg f. По предположению индукции можно считать, что для m выполнено утверждение теоремы, т.е. левая часть последнего равенства отличается от правой либо перестановкой сомножителей, либо их ассоциированностью, значит, и в исходном равенстве p1p2 . . . ps = q1q2 . . . qt s = t и одна часть отличается от другой только порядком сомножителей и их ассоциированностью. (

Пример. Разложить x6 - 1 на неприводимые множители над Q.

Решение. x6 - 1 = (x3 - 1)(x3 + 1) = (x - 1)( x2 + x + 1)(x + 1)( x2 - x + 1).

20. Каноническое разложение числа.

Обозначим через ((k) - множество неприводимых нормированных многочленов над полем k.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: образец курсовой работы, как сделать шпаргалку.





Предыдущая страница реферата | 5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15 | Следующая страница реферата