Предыдущая страница реферата | 6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16 | Следующая страница реферата



Разделим обе части этого равенства на a0 ¹ 0 и раскроем скобки. Получим равенство

Xn + (a1 / a0)xn – 1 + … + (an / a0) =

= xn – (x1 + x2 + … +xn)xn – 1 + (x1x2 +x1x3 + … +xn-1xn)xn – 2 +

+ … + (-1)nx1x2…xn.

Но два многочлена тождественно равны в том и только в том случае, когда коэффициенты при одинаковых степенях равны. Отсюда следует, что выполняются равенства

x1 + x2 + … + xn = -a1 / a0,

x1x2 + x1x3 + … + xn – 1xn = a2 / a0,

…………………….

x1x2× … × xn = (-1)nan / a0.

Пример 5.22. Напишем кубическое уравнение, корни которого являются квадратами корней уравнения x3 – 3x2 + 7x + 5 = 0.

Решение. Обозначим корни заданного уравнения через x1, x2 и x3. Тогда по формулам Виета имеем

s 1 = x1 + x2 +x3 = 3,

s 2 = x1x2 + x1x3 + x2x3 = 7,

s 3 = x1x2x3 = – 5.

Корни искомого уравнения обозначим буквами y1, y2, y3, а его коэффициенты — буквами b1, b2, b3, положив коэффициент при y3 равным 1. По условию должны выполняться равенства y1 = x12, y2 = x22, y3 = x32 и поэтому

b1 = – (y1 + y2 + y3) = – (x12 + x22 + x32),

b2 = y1y2 + y1y3 + y2y3 = x12x22 + x12x32 + x22x32,

b3 = – y1y2y3 = – x12x22x32 .

Но имеем

x12 + x22 + x32 = (x1 + x2 +x3)2 – 2(x1x2 + x1x3 + x2x3) = s 12 - 2s 2 = 32 – 2× 7 = – 5,

x12x22 + x12x32 + x22x32 = (x1x2 + x1x3 + x2x3)2 – 2x1x2x3(x1 + x2 +x3)= s 22 – 2s 1s 3 = = 72 – 2× 3× (– 5)= 79,

x12x22x32 = (x1x2x3)2 = s 32 = 25.

Значит, b1 = 5, b2 = 79, b3 = – 25, и потому искомое уравнение имеет вид

y3 + 5y2 + 79y – 25 = 0.

Ответ: y3 + 5y2 + 79y – 25 = 0.

Системы уравнений второй степени.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: первый снег сочинение, научный журнал.

Предыдущая страница реферата | 6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16 | Следующая страница реферата