Предыдущая страница реферата | 12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22 | Следующая страница реферата

Решение. заметим, что для решения системы выполняется условие у ¹ 0. В самом деле, из первого уравнения следует, что если у = 0, то и х = 0, а числа х = 0 и у = 0 не удовлетворяют второму уравнению системы. Разделим первое уравнение на у2. Получится уравнение

8х2 / у2 - 6ху / у2 + у2 / у2 = 0 или 8х2 / у2 - 6х / у + 1 = 0.

Введём вспомогательное неизвестное U = х / у. Уравнение примет вид

8U2 - 6U + 1 = 0.

Это квадратное уравнение, имеющее корни U1 = 0,5; U2 = 0,25. Таким образом, из первого уравнения мы получаем что либо x / y = 1 / 2, либо x / y = 1 / 4. Осталось подставить выражения у =2х и у = 4х (рассмотрев оба случая) во второе уравнение системы. В первом случае получается уравнение 5х2 = 5, откуда х1 = 1, х2 = - 1; соответственно у1 = 2, у2 = - 2. Во втором случае получается уравнение17х2 = 5, откуда х3 = Ö (5 / 17), x4 = - Ö (5 / 17); соответственно y3 = 4Ö (5 / 17), y4 = - 4Ö (5 /17).

Первое уравнение системы нам удалось представить как уравнение относительно x / y благодаря тому, что степень всех членов, входящих слагаемыми в это уравнение (8x2, 6xy, y2), одна и та же — она равна двум. Поэтому после деления на y2 каждое слагаемое выразилось через x / y.

Многочлен от двух переменных x и y такой, что степень каждого его члена равна одному и тому же числу k, называется однородным многочленом степени k.

Уравнение вида P (x, y) = 0 называется однородным уравнением степени k относительно x и y, если P (x, y) — однородный многочлен степени k. Однородное уравнение относительно x и y делением на yk (если y = 0 не является корнем уравнения) превращается в уравнение относительно неизвестного x / y. Это свойство однородного уравнения помогает решать многие задачи.

Пример 8.37. Решить систему уравнений

Решение. Ни одно из уравнений системы не является однородным. Но если умножить первое уравнение на 7 и прибавить к нему почленно второе уравнение, умноженное на 3, то получится уравнение 7y2 - 10xy + 3x2 = 0, являющееся следствием исходной системы. Разделим обе части уравнения на x2 и решим уравнение 7U2 - 10U + 3 = 0 (здесь U = y / x, причём из второго уравнения системы следует, что x ¹ 0). Находим, что y = x или y = 3x / 7. Подставляя это выражение во второе уравнение и, рассмотрев оба случая, найдём решения:

x1 = 7, y1 = 3; x2 = - 7, y2 = - 3.

Ответ: x1 = 7, y1 = 3; x2 = - 7, y2 = - 3.

Мы получили решения системы путём выведения из заданных уравнений вспомогательного следствия. Такой способ решения систем в некоторых случаях приводит к появлению “посторонних” корней — значений x и y, не удовлетворяющих исходной системе. Поэтому найденные корни надо проверить, подставив их исходную систему и убедившись, что уравнения системы обращаются в верные числовые равенства.

Пример 8.38. Решим уравнение (x - 1)4 + 9(x + 1)4 = 10(x2 - 1)2.

Решение. Если раскрыть все скобки и привести подобные члены, то получится уравнение четвёртой степени. Попробуем другой путь: введём новые неизвестные U и V:

U = (x - 1)2, V = (x + 1)2.

Уравнение примет вид U2 + 9V2 = 10UV.

Это уравнение однородное, и после деления на V2 оно становится уравнением относительно неизвестного W:

W = U / V = (x - 1)2 / (x + 1)2.

Решим вспомогательное уравнение

W2 - 10W + 9 = 0.

Его корни W1 = 1, W2 = 9. Осталось решить уравнения

(x - 1)2 / (x + 1)2 = 1 и (x - 1)2 / (x + 1)2 = 9.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: первый снег сочинение, научный журнал.

Предыдущая страница реферата | 12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22 | Следующая страница реферата