Предыдущая страница реферата | 8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18 | Следующая страница реферата

точка пересечения двух прямых Û прямая, соединяющая две точки

и т.д., тоже может быть выведено из аксиом П1-П4 (соответственно П1-П5).

Определение: Полным четырехугольником называется конфигурация, состоящая из семи точек и шести прямых, полученных следующим образом: рассмотрим четыре точки А,В,С,D (такие, что любые три из них неколлинеарны), шесть соединяющих их прямых и три новые точки пересечения этих прямых.

("противоположных сторон" полного четырехугольника) Р=АВÇ СD, Q=АСÇ ВD, R=АDÇ ВС.

Точки Р, Q и R называются диагональными точками полного четырехугольника. Диагональные точки P,Q и R могут оказаться коллинеарными. Однако на действительной проективной плоскости этого быть не может. Мы убедимся в этом позже, пока будем рассматривать случай коллинеарности диагональных точек как исключительное явление и поэтому введем следующую аксиому П7 (аксиома Фано).

П7: Диагональные точки полного четырехугольника неколлинеарны.

Предложение: Действительная проективная плоскость удовлетворяет аксиоме П7.

Определение: Полным четырехсторонником называется конфигурация, состоящая из семи прямых и шести точек, полученных следующим образом: рассмотрим четыре прямые a, b, c, d (такие, что никакие три из них не являются сходящимися), шесть точек их пересечения и три новые прямые p,q,r.

Соединяющие пары противоположных вершин полного четырехсторонника прямые p, q, r называются диагоналями полного четырехсторонника.

Предложение: Из того, что П7 выполняется на П Þ , что П7* выполняется на П*; поэтому принцип двойственности применим также и к следствиям из П7.

Докажем П7*: П7* в терминах П означает: диагонали полного четырехсторонника не являются сходящимися (не принадлежат одному пучку). Пусть a, b, c, d- "стороны" полного четырехсторонника; предположим, что диагонали p, g, r- сходящиеся. Но в этом случае диагональные точки полного четырехугольника АВСD, где А=bÇ d, B=cÇ d, C=aÇ b, D=aÇ c коллинеарны, что противоречит П7. Значит утверждение П7* справедливо.

Заметим, что определение четырехсторонника двойственно определению полного четырехугольника.

3.6. Гармонические четверки точек.

Определение: Упорядоченная четверка различных коллинеарных точек А,В,С,D называется гармонической четверкой, если $ полный четырехугольник XYZW, такой, что А и В являются его диагональными точками (например А=XYÇ ZW, B=XZÇ YW), а С и D принадлежат двум другим сторонам четырехугольника (например,CÎ XW, DÎ YZ).

Для гармонических точек А,В,С,D мы введем обозначение H (АВ, СD). Из того, что точки А,В,С,D образующие гармоническую четверку, различны, следует неколлинеарность диагональных точек определяющего эту четверку четырехугольника XYZW. Вообще понятие гармонической четверки точек в значительной мере теряет смысл, если аксиома Фано не выполняется; поэтому, говоря о гармонической четверке точек, мы всегда будем предполагать выполняемость П7.

Предложение 1: Н(АВ,СD)ó Н(BA,CD)ó H(AB,DC)ó H(BA,DC)

Доказательство: Это утверждение немедленно следует из определения гармонической четверки, так как А и В, С и D играют одинаковую роль в построении полного четырехугольника. Действительно, можно переставить буквы X,Y,Z,W,так, чтобы привести обозначение в соответствие с определением Н(ВА,СD)ч.т.д.

Предложение 2: Пусть А,В,С- три различные точки прямой. Тогда (если выполняется П7) $ точка D, такая, что Н(АВ,СD). Более того (если выполняется П5), можно утверждать, что подобная точка D единственная (D называется четвертой гармонической точкой для А,В,С или точкой, гармонически сопряженной к точке С по отношению к точкам А и В).

Предложение 3: Пусть А,В,С,D- гармоническая четверка точек. Тогда (если выполняется П5) C,D,A,B- тоже гармоническая четверка.

Объединяя это предложение с предложением 1, получаем:

H(AB,CD)Û H(BA,CD)Û H(AB,DC)Û H(BA,DC)

H(CD,AB)Û H(DC,AB)Û H(CD,BA)Û H(DC,BA)

Доказательство: Пусть Н(АВ,CD) и пусть XYZW- полный четырехугольник, с которым связано определение этой гармонической четверки.

Проведем DX и CZ и обозначим точку пересечения через U. Пусть, далее XWÇ YZ=T. Тогда XTUZ- полный четырехугольник, а С и D- две его диагональные точки. Точка ВÎ XZ, поэтому достаточно доказать, что TU проходит через А, так как в этом случае будем иметь H(CD,AB). Рассмотрим 2 треугольника XUZ и YTW. Пары их соответственных сторон пересекаются в точках D,B и С, но эти точки коллинеарны Þ по П5*,XY, TU, WZ соединяющие соответственные вершины принадлежат одному пучку.

Пример: На действительной евклидовой плоскости четыре точки А,В,С,D образуют гармоническую четверку тогда и только тогда, когда

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: конспект урока 8 класс, шпаргалка егэ.

Предыдущая страница реферата | 8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18 | Следующая страница реферата