Предыдущая страница реферата | 11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21 | Следующая страница реферата



Сформулируем теорему Дезарга, покажем использование на евклидовой плоскости.

При доказательстве будем пользоваться теоремой Менелая.

Теорема Менелая гласит:

Если точки X,Y,Z лежащие на сторонах ВС,СА,АВ (соответственно продолженных) треугольника АВС коллинеарны, то (BX/CX)*(CY/AY)*(AZ/BZ)=1

Обратно, если это уравнение выполняется для точек X,Y,Z, лежащих на трех сторонах треугольника, то эти три точки коллинеарны.

Теорема Дезарга.

Если два треугольника перспективны относительно точки и если их пары соответствующих сторон пересекаются, то эти три () пересечения коллинеарны.

Доказательство: Мы имеем теорему лишь о принадлежности () прямым и пересечении прямых. Треугольники АВС и A’B’C’ перспективны относительно точки О, а пары их соответствующих сторон пересекаются в () R,Q,P. Для доказательства применим теорему Менелая к тройкам точек.

í Q,C’,A’ý , í R,B’,C’ý , í P,A’,B’ý

Лежащих на сторонах трех треугольников ОАС, ОСВ, ОВА, получим при этом (AQ/CQ)*(CC’/OC’)*(OA’/AA’)=1(CR/BR)*(BB’/OB’)*(OC’/CC’)=1

(BP/AP)*(AA’/OA’)*(OB’/BB’)=1

Перемножим эти три выражения и проделав умеренное число сокращений, получим (AQ/CQ)*(CR/BR)*(BP/AP)=1Þ что () Q,R,P коллинеарны, теорема доказана.

4.2. Использование предложения Паппа на евклидовой плоскости.

Покажем использование предложения на евклидовой плоскости.

Теорема Паппа: Если А,С,В - три точки на одной прямой, а A’,C’,B’ - на другой, и если три прямые AB’,CA’,BC’ пересекают прямые A’B,C’A,B’C соответственно, то три точки пересечения P,Q,R коллинеарны.

рис. 1

Доказательство: Эта теорема как и теорема Дезарга использует принадлежность точек прямым или прохождение прямых через точки, без измерения длин или углов и даже без какой-либо ссылки на порядок; в каждом множестве из трех коллинеарных точек безразлично, какая из них лежит между двумя другими. (рис. 1, рис. 2)

рис. 2

При доказательстве будем пользоваться теоремой Менелая. Предположим, что три прямые AB’,CA’,BC’ образуют треугольник UVW.(рис. 3)

рис. 3

Применяя теорему Менелая к пяти тройкам точек

í P,A’,Bý , í A,Q,C’ý , í B’,C,Rý , í A,C,Вý , í B’,A’,C’ý ,

лежащих на сторонах этого треугольника, мы получаем.

(VP/WP)*(WA’/UA’)*(UB/VB)=1(VA/WA)*(WC/UC)*(UB/VB)=1

(VB’/WB’)*(WC/UC)*(UR/VR)=1VB'/WB')*(WA'/UA')*(UC'/VC')=1

(VA/WA)*(WQ/UQ)*(UC’/VC’)=1

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: конспект урока 8 класс, шпаргалка егэ.

Предыдущая страница реферата | 11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21 | Следующая страница реферата