Предыдущая страница реферата | 10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20 | Следующая страница реферата



Где l¹ n; предположим теперь, что не имеет места ни а) ни б) из условий леммы 1. Тогда $ прямая m’ и точки O’Î n и P’Î l, такие, что l = m = n есть рассматриваемое проективное отображение l на n.

Доказательство: Пусть l, m, n, O,P заданы; пусть далее A,A’- две точки на l и AA’ = BB’ = CC’. Точку пересечения ОР и n обозначим через O’. Так как мы предположили, что точки О,Р, lÇ n=X неколлинеарны, то O’¹ X, то есть O’Ï l. Проведем O’A и O’A’; пусть они пересекаются РС и РС’ соответственно в D и D’.

Соответствующие стороны треугольников АBD и A’B’D’ пересекаются в коллинеарных точках O,P,O’; значит, по П5*, прямые, соединяющие соответственные вершины этих треугольников принадлежат одному пучку. Таким образом, прямая m1, содержащая D и D’, проходит через точку Y=lÇ m.

Следовательно, прямая m1 определена точками D и Y, и если точка A’ меняется, то D’ меняется, оставаясь на прямой m1. Поэтому исходное проективное отображение совпадает с отображением l = m1 = n.

Повторяя то же самое рассуждение еще раз, мы можем переместить Р в положение P’=OPÇ l и найти новую прямую m’, такую, что l = m’= n дает исходное проективное отображение.

Лемма 3: Пусть l и l’- две различные прямые. Тогда любое проективное отображение l - l’ может быть получено как композиция двух перспективных отображений.

Теорема 1: Основная теорема вытекает из аксиом П1-П6.

Доказательство: Для заданной прямой l и двух троек различных точек А,В,С и A’,B’,C’ этой прямой мы должны найти проективное преобразование, переводящее одну тройку в другую, и доказать, что оно единственно. Выбираем прямую l’, не проходящую через заданные точки, и спроектируем A’,B’,C’ на l’. Обозначим образы этих точек теми же буквами A’,B’,C’. Таким образом мы свели теорему к следующей: имеем А,В,С на l A’,B’,C’ на l’ (все точки отличны от lÇ l’) требуется показать, что $ единственное проективное отображение, такое, что ABC - A’B’C’. Одно такое проективное отображение мы уже получили в предложении 2 (п.3.7); следовательно, достаточно показать, что любое другое проективное отображение совпадает с этим.

Случай 1: Предположим, что второе проективное отображение есть просто перспективное отображение. Пусть l - l’ переводит ABC = A’B’C’. Рассмотрим P=AB’Ç A’B ; пусть прямая l’’ соединяет Р с Q. Мы утверждаем, что l’’ проходит через точку Х=lÇ l’. Действительно, применим П5 к треугольникам AB’C’ и A’BC, которые перспективны с центром О. Их стороны пересекаются в точках Р,Q,Х соответственно. Следовательно, l’’ определяется точками Р и Х.

Но так как С может меняться, перспективное отображение l = l’ совпадает с проективным отображением l = l’’ = l’

Случай 2: предположим, что второе проективное отображение не является перспективным. Тогда в силу леммы 3 оно может быть представлено в виде композиции двух перспективных отображений, а в силу леммы 2 можно предположить, что центры этих отображений принадлежат соответственно l’ и l. Таким образом, мы приходим к конфигурации: l = l’’ = l’ и ABC = A’’B’’C’’ = A’B’C’

Применяя П6 к треугольникам АBR и A’B’R’, мы получаем, что Р=АB’Ç A’BÎ l’’. Аналогично, применяя П6 к ACR и A’C’R’, мы получаем, что Q=AC’Ç A’CÎ l’’. Таким образом, l’’ есть прямая, которая была использована в предложении 2 (п.3.7) для построения второго проективного отображения

l = l’’ = l’

Пусть теперь DÎ l – произвольная точка; определим D’’=R’DÇ l’’и D’=RD’’Ç l’.

Из П6, применимой к треугольникам ADR и A’D’R’, следует, что AD’Ç A'D, A’’,D’’ коллинеарны, то есть AD’Ç A’DÎ l’’. Но это означает, что также и проективное отображение предложения 2 переводит D в D’. Следовательно, эти проективные отображений совпадают. ч.т.д.

Теорема 2: П5 следует из П6.

Доказательство: Пусть, О,A,B,C,A',B',C' удовлетворяют предложениям теоремы Дезарга (П5), построим P,Q,R. Для доказательства их коллинеарности нам придется трижды применить П6.

Шаг 1: Пусть A’C’ пересекает АВ в точке S. Затем применим П6 к прямым.

и заключим отсюда, что точки T=OSÇ BC, U=OAÇ BC’, Q коллинеарны.

Шаг 2: Применим теперь П6 к тройкам

и заключим отсюда, что точки U,V=OSÇ B’C’,P коллинеарны.

Шаг 3: Применим, наконец, П6 к тройкам

и заключим отсюда, что точки R, P=BSÇ UV (шаг2),Q=C’SÇ TU (шаг1) коллинеарны. ч.т.д.

Следствие: (из основной теоремы). Проективное отображение l - l’, где l¹ l’, есть перспективное отображение Û точка пересечения X=lÇ l’ переходит в себя.

Глава 4. Применение основных теорем к решению задач на евклидовой плоскости. 4.1. Использование теоремы Дезарга на евклидовой плоскости.

В аксиоматическом построении проективной плоскости мы рассматриваем теорему Дезарга, как аксиому. Покажем, что она справедлива на евклидовой плоскости. Если две одинаковые конфигурации, составленные из точек и прямых, могут быть приведены в соответствие так, что пары соответствующих точек соединяются прямыми, пересекающимися в одной точке, то мы говорим, что эти две конфигурации перспективны относительно этой точке. Если соответствие таково, что пара соответствующих прямых пересекаются в точках лежащих на одной прямой, то говорим, что эти две конфигурации перспективны относительно этой прямой.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: конспект урока 8 класс, шпаргалка егэ.

Предыдущая страница реферата | 10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20 | Следующая страница реферата