Теорема Безу
Этьен Безу–

французский математик, член Парижской Академии Наук( с 1758 года ), родился в Немуре 31 марта 1730 года и умер 27 сентября 1783 года.

С 1763 года Безу преподавал математику в училище гардемаринов, а с 1768 года и в королевском артиллерийском корпусе.

Основные работы Этьена Безу относятся к высшей алгебре, они посвящены созданию теории решения алгебраических уравнений. В теории решения систем линейных уравнений он содействовал возникновению теории определителей , развивал теорию исключения неизвестных из систем уравнений высших степеней, доказал теорему (впервые сформулированную К.
Маклореном ) о том , что две кривые порядка m и n пересекаются не более чем в mn точках. Во Франции и за её границей вплоть до 1848 года был очень популярен его шеститомный“Курс математики “, написанный им в 1764-
69 годах. Безу развил метод неопределённых множителей, в элементарной алгебре его именем назван способ решения систем уравнений, основанный на этом методе . Часть трудов Безу посвящена внешней баллистике. Именем учёного названа одна из основных теорем алгебры.

Теорема Безу.

Остаток от деления полинома Pn(x) на двучлен (x-a) равен значению этого полинома при x = a.

Пусть :

Pn(x) – данный многочлен степени n , двучлен (x-a) - его делитель,

Qn-1(x) – частное от деления Pn(x) на x-a (многочлен степени n-1 ) ,

R – остаток от деления ( R не содержит переменной x как делитель первой степени относительно x ).

Доказательство :

Согласно правилу деления многочленов с остатком можно записать :

Pn (x) = (x-a)Qn-1(x) + R .
Отсюда при x = a :

Pn (a) = (a-a)Qn-1 (a) + R =0*Qn-1(a)+R=

=0+R=R .

Значит , R = Pn (a) , т.е. остаток от деления полинома на
(x-a) равен значению этого полинома при x=a , что и требовалось доказать .

Следствия из теоремы .

Следствие 1 :

Остаток от деления полинома Pn (x) на двучлен ax+b равен значению этого полинома при x = -b/a , т. е. R=Pn (-b/a) .

Доказательство :

Согласно правилу деления многочленов :

Pn (x)= (ax + b)* Qn-1 (x) + R .
При x= -b/a :

Pn (-b/a) = (a(-b/a) + b)Qn-1(-b/a) + R = R. Значит , R
= Pn (-b/a) , что и требовалось доказать.

Следствие 2:

Если число a является корнем многочлена P (x) , то этот многочлен делится на (x-a) без остатка .