Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата

Воспользуемся методом от противного: предполо-жим , что не имеющий корней многочлен P(x) при разложении на множители содержит линейный множитель (x – a):

P(x) = (x – a)Q(x), тогда бы он делился на (x – a) , но по следствию 6 a являлось бы корнем P(x) , а по условию он корней не содержит . Мы пришли к противоречию , значит наше предположение неверно и многочлен , не имеющий действительных корней , в разложении на множители линейных множителей не содержит , что и требовалось доказать .

На основании теоремы Безу и следствия 5 можно доказать следующие утверждения:

1. Разность одинаковых натуральных степеней на разность их оснований делится без остатка :

Пусть P(x) = xn , P(a) = an , тогда xn – an – разность одинаковых натуральных степеней .

По следствию 5

P(x) - P(a) = xn – an = (x – a)Q(x) , а это значит , что

(xn–an)/(x–a)=Q(x), т.е. разность одинаковых натуральных степеней на разность их оснований делится без остатка , что и требовалось доказать .
Итак
(xn – an)/(x – a) = xn-1 + axn-2 + a2xn-3 + … +an-2x + an-1.

2. Разность одинаковых чётных степеней на сумму их оснований делится без остатка .

Пусть P(x) = x2k , тогда P(a) = a2k .
Разность одинаковых чётных степеней x2k - a2k равна P(x) –
P(a) .
P(a) = a2k = (-a)2k = P(-a) , т.е. x2k - a2k = P(x) – P(-a).

По следствию 5

P(x) - P(-a) = (x –(- a))Q(x)=

= (x + a)Q(x) а это значит , что x2k – a2k = (x + a)Q(x) или

(x2k – a2k)/(x + a) = Q(x) , т.е. разность одинаковых чётных степеней на сумму их оснований делится без остатка , что и требовалось доказать .
Итак ,
(x2k – a2k)/(x + a) = x2k-1 – ax2k-2 + … +a2k-2x + a2k-1.

3. Разность одинаковых нечётных натуральных степеней на сумму их оснований не делится .

Пусть P(x) = x2k+1 - a2k+1 – разность одинаковых нечётных степеней .

По теореме Безу при делении x2k+1 - a2k+1 на x + a = x
– (-a) остаток равен

R = P(-a) = (-a)2k+1 – a2k+1 = -2a2k+1
Т. к. остаток при делении не равен 0 , то разность одинаковых нечётных натуральных степеней на сумму их оснований не делится , что и требовалось доказать .

4. Сумма одинаковых нечётных натуральных степеней на сумму их оснований делится без остатка .

Пусть P(x) = x2л+1 , P(-a) = (-a)2л+1 = -а2л+1 , тогда P(x) – P(-a) = x2k+1 + a2k+1 – сумма одинаковых нечётных натуральных степеней .

По следствию 5

P(x) - P(-a) = x2k+1 + a2k+1= (x –(- a))Q(x)=

= (x + a)Q(x), а это значит , что

(x2k+1 + a2k+1)/(x + a) = Q(x) , т.е. сумма одинаковых нечётных натуральных степеней на сумму их оснований делится без остатка , что и требовалось доказать .
Итак ,
(x2k+1 + a2k+1)/(x + a) = x2k - ax2k-1 + … - a2k-1x + a2k.

5. Сумма одинаковых чётных натуральных степеней на сумму их оснований не делится .

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: алгебра, контрольные работы по алгебре класс.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата